這個計算器的用途
本工具可針對指定的量子數 \(n\)，在一段位置 \(x\) 範圍內計算並繪製一維量子諧振子（QHO）的波函數 \(\psi_n(x)\)。量子諧振子是量子力學中最重要、也能精確求解的模型之一，可用來描述分子的振動、固體中的聲子，以及電磁場的各種模態。這些波函數正是漢密頓量（Hamiltonian）的本徵態，對應的能量為 \(E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\)。
單位慣例
為了讓結果維持純數值形式，位置 \(x\) 一律以無因次的「振子長度」為單位來量測，這相當於將參數 \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar}\) 設為 1。採用這項設定後，就不需要提供質量、角頻率或 \(\hbar\) 的數值，你只要輸入 \(n\) 與 \(x\) 的取樣參數即可。能量則以 \(\hbar\omega\) 為單位呈現，因此 \(E_n\) 直接等於 \(n + \tfrac{1}{2}\)。
計算公式
歸一化後的本徵函數為
$$\psi_n(x) = N_n\, H_n(x)\, e^{-x^{2}/2}$$其中歸一化常數 \(N_n = \sqrt{1 / (2^{n}\, n!\, \sqrt{\pi})}\)，而 \(H_n\) 為物理學家慣用的厄米多項式（Hermite polynomial）。厄米多項式可由穩定的遞迴關係建立：\(H_0 = 1\)、\(H_1 = 2x\)，以及 \(H_{k+1} = 2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\)。為避免在 \(n\) 較大時發生數值溢位，歸一化常數會在對數域中計算。
使用方式
請輸入量子數 \(n\)（0、1、2 ……）、起始位置 \(x\)、步長，以及要取樣的點數。計算器會針對每個 \(i\) 計算 \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\)，並回傳各點的 \(\psi\) 值，同時繪出 \(\psi(x)\) 對 \(x\) 的圖形。預設值（起點 \(-4\)、步長 \(0.1\)、共 81 點）會將 \(x\) 由 \(-4\) 掃描到 \(+4\)。
實例演算
以 \(n = 1\)、\(x = 1.0\) 為例：\(N_1 = \sqrt{1/(2\sqrt{\pi})} = 0.5311259\)，\(H_1(1) = 2.0\)，\(e^{-0.5} = 0.6065307\)。因此
$$\psi_1(1.0) = 0.5311259 \times 2.0 \times 0.6065307 = 0.6442715$$\(n = 1\) 的狀態在 \(x = 0\) 處有一個節點，此時 \(\psi_1(0) = 0\)。
常見問題
為什麼 \(\psi\) 會出現負值？在這裡波函數是實數，數值會正負振盪；真正具有物理觀測意義的是機率密度 \(|\psi|^{2}\)，它永遠不會是負值。
\(\psi_n\) 有幾個節點？恰好有 \(n\) 個節點（穿越零點），這正是第 \(n\) 個激發態的典型特徵。
\(\psi\) 有經過歸一化嗎？有的。在連續的 \(x\) 上，\(\psi_n^{2}\) 對 \(dx\) 的積分等於 1。而有限的取樣網格只能近似這個積分值。
