球諧函數計算機 Yₙᵐ(θ,φ)

輸入計算

函數定義 type A (Wolfram): e^(i m phi) type B (Maple): e^(i m (phi+pi))

n（階數）

m（次數，−n..n）

角度單位（θ 與 φ 共用） degrees radians

天頂角 θ

方位角 φ

顯示有效位數 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

結果

球諧函數 Y(θ, φ)

-0.386274 + 0 i

複數值（實部 + 虛部 i）

實部	-0.386274202
虛部	-0
模長 |Y|	0.386274202
相位（弧度）	-3.1415926536
歸一化係數 N	0.2575161347
連帶勒讓德函數 P(x)	-1.5

什麼是球諧函數計算機？

球諧函數 Y_n^m(θ,φ) 是拉普拉斯方程在球座標系下解的角度部分，它們在球面上構成一組完備的正交歸一基底，廣泛出現在物理與工程的各個領域：量子力學中的原子軌域、電磁學與重力理論的多極展開、宇宙學中的宇宙微波背景輻射、地球物理的地磁模型，以及電腦圖學的光照模型。本計算機可針對指定的階數 n、次數 m、極角（天頂角）θ 與方位角 φ，求出對應的複數球諧函數值。

球座標：天頂角 θ 從垂直軸量起，方位角 φ 沿赤道方向。

使用方式

首先選擇慣例：type A（Wolfram／Mathematica）採用相位因子 e^{i m φ}；type B（Maple）採用 e^{i m (φ+π)}，兩者相差 (−1)^m。接著輸入整數階數 n ≥ 0，以及滿足 −n ≤ m ≤ n 的整數次數 m。依所選的角度單位（度或弧度，兩個角度共用同一單位）輸入天頂角 θ 與方位角 φ。最後設定要顯示的有效位數，即可讀出實部、虛部，以及模長與相位。

計算公式

令 x = cosθ。歸一化係數為 N = √[(2n+1)/(4π) · (n−m)!/(n+m)!]。連帶勒讓德函數 P_n^m(x) 以遞迴方式建構，起始於 P_m^m(x) = (−1)^m(2m−1)!!(1−x²)^m/2。於是 type A：Y = N · P_n^m(x) · (cos(mφ) + i·sin(mφ))。負次數則使用 P_n^−m(x) = (−1)^m(n−m)!/(n+m)! P_n^m(x)。在兩極（x = ±1）處，僅 m = 0 不為零。

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若干 (n, m) 的實球諧函數：正負波瓣交替出現，隨階數 n 增多。

範例演算

採用預設值與 type A 慣例：n=2、m=1、θ=45°、φ=0。則 x = cos45° = 0.7071068，(2n+1)/(4π) = 5/(4π) = 0.3978874，(n−m)!/(n+m)! = 1/6，因此 N = √0.0663146 = 0.257516。P₂¹(x) = −3x√(1−x²) = −3·0.5 = −1.5。由於 φ=0，相位因子為 1，得 Y = 0.257516 · (−1.5) = −0.386274 + 0 i，模長為 0.386274。

常見問題

為什麼結果是複數？因為 e^{i m φ} 這個因子使 Y 成為複數，除非 mφ 為 π 的整數倍（例如 φ=0），此時虛部會消失。

為什麼參考書上顯示的是 +0.386274？有些資料省略了 Condon–Shortley 的 (−1)^m 相位。Wolfram／type A 慣例會把它包含在 P_n^m 之內，因此得到負值。

在兩極會發生什麼？當 θ=0 或 180° 時，因子 (1−x²)^m/2 為零，所以對所有 m ≠ 0 都有 Y = 0；只有 m=0 的項會保留下來。