輸入計算

結果

h_v^(1)(x) at order v = 0, x = 1

0.841471 -0.540302 i

magnitude = 1 · 10 points

-0.540302

#	x	實部	虛部	模長
0	1	0.841471	-0.540302	1
1	2	0.454649	0.208073	0.5
2	3	0.04704	0.329997	0.333333
3	4	-0.189201	0.163411	0.25
4	5	-0.191785	-0.056732	0.2
5	6	-0.046569	-0.160028	0.166667
6	7	0.093855	-0.1077	0.142857
7	8	0.12367	0.018188	0.125
8	9	0.045791	0.101237	0.111111
9	10	-0.054402	0.083907	0.1

什麼是球面漢克爾函數表計算器？

這是一款通用的數學工具，可在一連串實數自變數 x 上，針對所選的整數階 v，列出第一類球面漢克爾函數 h_v^(1)(x)、第二類球面漢克爾函數 h_v^(2)(x)，以及它們的一階導數。由於這些函數的值為複數，每一筆結果都會同時呈現實部、虛部與模長（大小）。

使用方式

先選擇要列表的函數（第一類、第二類，或其中一種的導數）。接著設定整數階 v、x 的起始值、相鄰兩個 x 之間的步長（增量），以及要產生的資料點數量。計算器會針對 k 從 0 到 N-1 逐列建立資料，並以 x = 起始值 + k × 步長計算每個 x，再代入所選函數求值。

公式說明

球面貝索函數有封閉形式：j_0(x) = sin(x)/x、j_1(x) = sin(x)/x^2 - cos(x)/x、y_0(x) = -cos(x)/x、y_1(x) = -cos(x)/x^2 - sin(x)/x。更高階則依循三項遞迴關係 f_{v+1} = ((2v+1)/x) f_v - f_{v-1}。接著 h_v^(1) = j_v + i y_v，而 h_v^(2) = j_v - i y_v（即其複共軛）。導數則使用 f_v'(x) = f_{v-1}(x) - ((v+1)/x) f_v(x)，其中 f_0' = -f_1。

由球貝塞爾分量構成的複平面中作為向量表示的複球漢克爾函數 — 球漢克爾函數將 j_v(x)（實軸）和 y_v(x)（虛軸）合併為單一複數值。

範例演算

以 h_v^(1)(x)、v = 0、起始 x = 2 為例：j_0(2) = sin(2)/2 = 0.4546487，y_0(2) = -cos(2)/2 = 0.2080734，因此 h_0^(1)(2) = 0.4546487 + 0.2080734 i，模長為 1/x = 0.5。若改取第二類 h_0^(2)(2)，則虛部變號為 -0.2080734。