Qu'est-ce que le calculateur de table des fonctions de Hankel sphériques ?
Cet outil mathématique universel dresse la table des fonctions de Hankel sphériques de première espèce \(h_v^{(1)}(x)\) et de seconde espèce \(h_v^{(2)}(x)\), ainsi que de leurs dérivées premières, pour une suite d'arguments réels \(x\) et un ordre entier \(v\) donné. Ces fonctions étant à valeurs complexes, chaque résultat est présenté sous la forme d'une partie réelle, d'une partie imaginaire et du module.
Comment l'utiliser
Choisissez la fonction à tabuler (première espèce, seconde espèce ou l'une des dérivées). Renseignez l'ordre entier \(v\), la valeur initiale de \(x\), le pas (l'incrément) entre deux valeurs successives de \(x\), puis le nombre de points à générer. Le calculateur construit une ligne pour chaque \(k\) allant de 0 à \(N-1\), avec \(x = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\), et évalue la fonction sélectionnée pour chaque \(x\).
La formule expliquée
Les fonctions de Bessel sphériques s'expriment sous forme close : \(j_0(x) = \sin(x)/x\), \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\), \(y_0(x) = -\cos(x)/x\), \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\). Les ordres supérieurs suivent la relation de récurrence à trois termes $$f_{v+1} = \frac{2v+1}{x}\,f_v - f_{v-1}.$$ On a ensuite $$h_v^{(1)} = j_v + i\,y_v \qquad \text{et} \qquad h_v^{(2)} = j_v - i\,y_v$$ (le conjugué complexe). Les dérivées s'obtiennent par $$f_v'(x) = f_{v-1}(x) - \frac{v+1}{x}\,f_v(x),$$ avec \(f_0' = -f_1\).
Exemple concret
Pour \(h_v^{(1)}(x)\) avec \(v = 0\) et \(\text{initialX} = 2\) : \(j_0(2) = \sin(2)/2 = 0{,}4546487\), \(y_0(2) = -\cos(2)/2 = 0{,}2080734\), donc $$h_0^{(1)}(2) = 0{,}4546487 + 0{,}2080734\,i,$$ avec un module de \(1/x = 0{,}5\). Pour la seconde espèce \(h_0^{(2)}(2)\), la partie imaginaire change de signe et devient \(-0{,}2080734\).
FAQ
Pourquoi \(x = 0\) est-il interdit ? Chaque formule comporte une division par \(x\), et \(y_v\) diverge lorsque \(x\) tend vers 0 ; ces lignes sont donc signalées comme singulières.
Pourquoi \(|h_0^{(1)}(x)|\) est-il égal à \(1/x\) ? Parce que \(j_0^2 + y_0^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)/x^2 = 1/x^2\).
Les ordres non entiers sont-ils pris en charge ? Cette version repose sur les formes closes et les récurrences exactes valables pour les ordres entiers ; les ordres non entiers ne sont pas pris en charge.
