Calculadora de tabla de funciones esféricas de Hankel

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Función h_v^(1)(x) - primera especie h_v^(2)(x) - segunda especie h_v^(1)'(x) - derivada de la primera especie h_v^(2)'(x) - derivada de la segunda especie

Order v (integer ≥ 0)

Valor inicial de x

Incremento (paso)

Número de puntos

Resultados

h_v^(1)(x) at order v = 0, x = 1

0,841471 -0,540302 i

magnitude = 1 · 10 points

-0,540302

#	x	Parte real	Parte imaginaria	Módulo
0	1	0,841471	-0,540302	1
1	2	0,454649	0,208073	0,5
2	3	0,04704	0,329997	0,333333
3	4	-0,189201	0,163411	0,25
4	5	-0,191785	-0,056732	0,2
5	6	-0,046569	-0,160028	0,166667
6	7	0,093855	-0,1077	0,142857
7	8	0,12367	0,018188	0,125
8	9	0,045791	0,101237	0,111111
9	10	-0,054402	0,083907	0,1

¿Qué es la calculadora de tabla de funciones esféricas de Hankel?

Esta herramienta matemática universal tabula las funciones esféricas de Hankel de primera especie \(h_v^{(1)}(x)\) y de segunda especie \(h_v^{(2)}(x)\), así como sus primeras derivadas, sobre una secuencia de argumentos reales \(x\) para un orden entero \(v\) elegido. Como estas funciones toman valores complejos, cada entrada se presenta con su parte real, su parte imaginaria y su módulo.

Cómo utilizarla

Elige qué función quieres tabular (primera especie, segunda especie o cualquiera de las derivadas). Define el orden entero \(v\), el valor inicial de \(x\), el paso (incremento) entre valores consecutivos de \(x\) y el número de puntos que deseas generar. La calculadora crea una fila para cada \(k\) de \(0\) a \(N-1\) con \(x = \text{inicialX} + k \cdot \text{pasoX}\) y evalúa la función seleccionada en cada \(x\).

La fórmula explicada

Las funciones esféricas de Bessel disponen de expresiones cerradas: \(j_0(x) = \frac{\sin(x)}{x}\), \(j_1(x) = \frac{\sin(x)}{x^2} - \frac{\cos(x)}{x}\), \(y_0(x) = -\frac{\cos(x)}{x}\), \(y_1(x) = -\frac{\cos(x)}{x^2} - \frac{\sin(x)}{x}\). Los órdenes superiores se obtienen mediante la recurrencia de tres términos $$f_{v+1} = \frac{2v+1}{x}\,f_v - f_{v-1}.$$ A partir de ahí, $$h_v^{(1)} = j_v + i\,y_v \qquad \text{y} \qquad h_v^{(2)} = j_v - i\,y_v$$ (el conjugado complejo). Las derivadas se calculan con $$f_v'(x) = f_{v-1}(x) - \frac{v+1}{x}\,f_v(x),$$ siendo \(f_0' = -f_1\).

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La función esférica de Hankel combina \(j_v(x)\) (eje real) y \(y_v(x)\) (eje imaginario) en un único valor complejo.

Ejemplo resuelto

Para \(h_v^{(1)}(x)\) con \(v = 0\) e \(\text{inicialX} = 2\): $$j_0(2) = \frac{\sin(2)}{2} = 0.4546487, \qquad y_0(2) = -\frac{\cos(2)}{2} = 0.2080734,$$ de modo que \(h_0^{(1)}(2) = 0.4546487 + 0.2080734\,i\) con módulo \(\frac{1}{x} = 0.5\). Para la segunda especie \(h_0^{(2)}(2)\), la parte imaginaria cambia de signo a \(-0.2080734\).

Las partes real e imaginaria de \(h_v(x)\) oscilan y decaen a medida que aumenta \(x\).

Preguntas frecuentes

¿Por qué no se permite \(x = 0\)? Todas las fórmulas dividen entre \(x\), e \(y_v\) diverge cuando \(x\) tiende a \(0\), por lo que esas filas se marcan como singulares.

¿Por qué \(|h_0^{(1)}(x)|\) es igual a \(\frac{1}{x}\)? Porque \(j_0^2 + y_0^2 = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{x^2} = \frac{1}{x^2}\).

¿Admite órdenes no enteros? Esta versión utiliza expresiones cerradas y recurrencias exactas de orden entero; no se admiten órdenes no enteros.