Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa una fracción continua generalizada (analítica) de la forma \(f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \dots)))\) y enumera sus convergentes sucesivos \(f_0, f_1, f_2, \dots\) hasta el número de términos que elijas. Los numeradores parciales \(a_n\) y los denominadores parciales \(b_n\) se introducen como expresiones algebraicas que dependen del índice del término \(n\), de modo que puedes reproducir muchos desarrollos clásicos: pi, 1/(e-1), el logaritmo natural de la raíz de dos, la raíz de dos y muchísimos más. Es una herramienta puramente matemática, sin unidades ni ámbito geográfico.
Cómo usarla
Introduce el numerador inicial \(a_0\) y el denominador inicial \(b_0\) como números. Introduce el numerador n-ésimo \(a_n\) y el denominador n-ésimo \(b_n\) como expresiones en la variable \(n\); por ejemplo "n^2", "n+1", "-n^2", "3(2n+1)" o simplemente "2". Se admite la multiplicación implícita junto a \(n\), así como los operadores + - * / ^, los paréntesis, el menos unario y funciones como sqrt, exp, ln, sin y cos. Elige cuántos términos quieres evaluar (de 1 a 1000) y cuántos dígitos mostrar. El número grande es el último convergente; la tabla muestra cómo se va estabilizando el valor.
La fórmula al detalle
Para calcular el convergente n-ésimo \(f_n\), la calculadora trabaja desde el término más profundo que conserva hacia afuera. Parte de la cola \(t = 0\) y, para \(k = n, n-1, \dots, 1\), actualiza $$t = \frac{a_k}{b_k + t}.$$ Finalmente, $$f_n = \frac{a_0}{b_0 + t}.$$ Este esquema de abajo hacia arriba es numéricamente estable, y se sustituye por un pequeño épsilon cada vez que un denominador resultaría exactamente cero (una salvaguarda de Lentz modificada).
Ejemplo resuelto: el desarrollo de pi
Con \(a_0 = 4\), \(b_0 = 1\), \(a_n = n^2\), \(b_n = 2n+1\) y 6 términos obtienes la célebre fracción continua de pi. Trabajando de abajo hacia arriba con \(n = 6\): \(t\) empieza en 0; con \(k=6\) sale \(36/13 = 2{,}769231\); con \(k=5\) sale \(25/13{,}769231 = 1{,}815651\); con \(k=4\) sale \(1{,}479323\); con \(k=3\) sale \(1{,}061407\); con \(k=2\) sale \(0{,}659912\); con \(k=1\) sale \(0{,}273156\). Entonces $$f_6 = \frac{4}{1 + 0{,}273156} = 3{,}141962,$$ ya muy cerca de \(\pi = 3{,}141593\). Aumenta el número de términos para afinar aún más la convergencia.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el valor no coincide exactamente con la constante? Cada convergente es solo un truncamiento. Cuantos más términos uses, mayor precisión, aunque la doble precisión limita los dígitos útiles a unos 15.
¿Y si mi fracción diverge? Algunas expresiones oscilan o divergen. La tabla de convergentes te permite observar el comportamiento y decidir si existe un límite.
¿Qué otros ejemplos puedo probar? 1/(e-1): \(a_0=1\), \(b_0=1\), \(a_n=n+1\), \(b_n=n+1\). Raíz de dos: \(a_0=2\), \(b_0=1\), \(a_n=1\), \(b_n=2\). Logaritmo natural de la raíz de dos: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(a_n=-n^2\), \(b_n=3(2n+1)\).
