일반화 연분수 근사값 계산기

계산 입력

a0 (초기 분자)

b0 (초기 분모)

a_n (n번째 분자, n에 대한 식)

b_n (n번째 분모, n에 대한 식)

항 수 n

표시 자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

연분수 값 f

3.1415926535898

마지막 근사값 f_n (n = 항 수)

n	근사값 f_n
0	4.0
1	3.0
2	3.1666666666667
3	3.1372549019608
4	3.1423423423423
5	3.1414634146341
6	3.1416149068323
7	3.1415888250921
8	3.1415933118799
9	3.1415925404465
10	3.1415926730303
11	3.1415926502502
12	3.1415926541634
13	3.1415926534913
14	3.1415926536067
15	3.1415926535869
16	3.1415926535903
17	3.1415926535897
18	3.1415926535898
19	3.1415926535898
20	3.1415926535898

이 계산기의 기능

이 도구는 \(f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \ldots)))\) 꼴의 일반화(해석적) 연분수를 계산하고, 지정한 항 수까지의 근사값 \(f_0, f_1, f_2, \ldots\)를 차례로 나열합니다. 부분 분자 \(a_n\)과 부분 분모 \(b_n\)은 항 번호 \(n\)에 대한 대수식으로 입력하므로, pi, \(1/(e-1)\), 루트2의 자연로그, 루트2 등 수많은 고전적 전개식을 그대로 재현할 수 있습니다. 단위나 특정 국가 규정과 무관한 순수 수학 도구입니다.

사용 방법

초기 분자 \(a_0\)와 초기 분모 \(b_0\)는 숫자로 입력합니다. \(n\)번째 분자 \(a_n\)과 \(n\)번째 분모 \(b_n\)은 변수 \(n\)에 대한 식으로 입력하세요 — 예를 들어 "n^2", "n+1", "-n^2", "3(2n+1)", "2" 같은 식입니다. \(n\) 옆에 붙는 암시적 곱셈도 지원하며, + - * / ^ 연산자, 괄호, 단항 마이너스, 그리고 sqrt, exp, ln, sin, cos 같은 함수도 사용할 수 있습니다. 계산할 항 수(1~1000)와 표시할 자릿수를 선택하세요. 크게 표시되는 숫자는 마지막 근사값이며, 표를 보면 값이 어떻게 안정되어 가는지 확인할 수 있습니다.

공식 풀이

\(n\)번째 근사값 \(f_n\)을 구하려면, 계산기는 가장 안쪽에 보존된 항부터 바깥쪽으로 거슬러 올라가며 계산합니다. 먼저 꼬리값 \(t = 0\)으로 두고, \(k = n, n-1, \ldots, 1\) 순서로 $$t = \frac{a_k}{b_k + t}$$ 를 갱신합니다. 마지막으로 $$f_n = \frac{a_0}{b_0 + t}$$ 를 구합니다. 이 아래에서 위로 올라가는 방식은 수치적으로 안정적이며, 분모가 정확히 0이 되는 경우에는 작은 엡실론 값을 대입해 보완합니다(수정된 Lentz 알고리즘 방식의 안전장치).

Convergents are computed by the recurrence \(A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}\) (and likewise for \(B_n\)).

The nested structure of a generalized continued fraction: each level adds a new \(a_n\) over \(b_n\).

예제 풀이: pi 전개식

\(a_0 = 4\), \(b_0 = 1\), \(a_n = n^2\), \(b_n = 2n+1\), 항 수 6으로 설정하면 그 유명한 pi의 연분수가 됩니다. \(n = 6\)에서 아래에서 위로 계산해 보면: \(t\)는 0에서 시작하고, \(k=6\)에서 \(36/13 = 2.769231\), \(k=5\)에서 \(25/13.769231 = 1.815651\), \(k=4\)에서 \(1.479323\), \(k=3\)에서 \(1.061407\), \(k=2\)에서 \(0.659912\), \(k=1\)에서 \(0.273156\)이 됩니다. 그러면 $$f_6 = \frac{4}{1 + 0.273156} = 3.141962$$ 로, 이미 \(\pi = 3.141593\)에 상당히 가깝습니다. 항 수를 늘리면 더 정밀하게 수렴합니다.

Successive convergents \(f_n\) oscillate and close in on the true value (here pi).

자주 묻는 질문

왜 값이 상수와 정확히 일치하지 않나요? 각 근사값은 어디까지나 잘라낸 근사일 뿐입니다. 항이 많을수록 정확도가 높아지지만, 배정밀도(double) 연산의 한계로 의미 있는 자릿수는 약 15자리까지입니다.

연분수가 발산하면 어떻게 되나요? 일부 식은 진동하거나 발산합니다. 근사값 표를 보면서 값의 변화를 관찰하고 극한이 존재하는지 판단할 수 있습니다.

또 어떤 예제를 시도해 볼 수 있나요? \(1/(e-1)\): \(a_0=1\), \(b_0=1\), \(a_n=n+1\), \(b_n=n+1\). 루트2: \(a_0=2\), \(b_0=1\), \(a_n=1\), \(b_n=2\). 루트2의 자연로그: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(a_n=-n^2\), \(b_n=3(2n+1)\).