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परिणाम

सतत भिन्न का मान f

3.1415926535898

अंतिम अभिसारी f_n (n = पदों की संख्या)

n	अभिसारी f_n
0	4.0
1	3.0
2	3.1666666666667
3	3.1372549019608
4	3.1423423423423
5	3.1414634146341
6	3.1416149068323
7	3.1415888250921
8	3.1415933118799
9	3.1415925404465
10	3.1415926730303
11	3.1415926502502
12	3.1415926541634
13	3.1415926534913
14	3.1415926536067
15	3.1415926535869
16	3.1415926535903
17	3.1415926535897
18	3.1415926535898
19	3.1415926535898
20	3.1415926535898

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल $f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \dots)))$ रूप वाली सामान्यीकृत (विश्लेषणात्मक) सतत भिन्न का मान निकालता है और उसके क्रमिक अभिसारी $f_0, f_1, f_2, \dots$ को चुनी गई पदों की संख्या तक सूचीबद्ध करता है। आंशिक अंश $a_n$ और आंशिक हर $b_n$ को पद-सूचकांक $n$ के बीजगणितीय व्यंजकों के रूप में डाला जाता है, जिससे आप कई शास्त्रीय विस्तार दोबारा बना सकते हैं: pi, $1/(e-1)$, मूल दो का प्राकृतिक लघुगणक, मूल दो, और अनगिनत अन्य। यह एक शुद्ध-गणित टूल है — इसमें कोई इकाई या देश-विशेष सीमा नहीं है।

इसका उपयोग कैसे करें

प्रारंभिक अंश a0 और प्रारंभिक हर b0 को संख्याओं के रूप में डालें। $n$-वाँ अंश $a_n$ और $n$-वाँ हर $b_n$ को चर $n$ के व्यंजकों के रूप में डालें — उदाहरण के लिए "n^2", "n+1", "-n^2", "3(2n+1)" या "2"। $n$ के आगे निहित गुणन समर्थित है, साथ ही + - * / ^, कोष्ठक, एकल ऋण और sqrt, exp, ln, sin, cos जैसे फलन भी। चुनें कि कितने पद निकालने हैं (1 से 1000) और कितने अंक प्रदर्शित करने हैं। बड़ी संख्या अंतिम अभिसारी है; तालिका दिखाती है कि मान किस तरह स्थिर होता जाता है।

सूत्र की व्याख्या

$n$-वें अभिसारी $f_n$ की गणना के लिए कैलकुलेटर सबसे गहरे रखे गए पद से बाहर की ओर काम करता है। पुच्छ $t = 0$ रखें, फिर $k = n, n-1, \dots, 1$ के लिए $t = a_k / (b_k + t)$ से अद्यतन करते जाएँ। अंत में $f_n = a_0 / (b_0 + t)$। यह नीचे-से-ऊपर वाली विधि संख्यात्मक रूप से साफ-सुथरी है, और जब भी कोई हर ठीक शून्य हो जाए तो उसके स्थान पर एक छोटा एप्सिलॉन रख दिया जाता है (एक संशोधित Lentz सुरक्षा-उपाय)।

Recurrence diagram showing numerator and denominator A_n and B_n built from previous terms — Convergents are computed by the recurrence $A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}$ (and likewise for $B_n$).

Nested fraction structure of a generalized continued fraction with terms a0, b0, a1, b1, a2, b2 — The nested structure of a generalized continued fraction: each level adds a new $a_n$ over $b_n$.

हल किया गया उदाहरण: pi का विस्तार

$a_0 = 4$, $b_0 = 1$, $a_n = n^2$, $b_n = 2n+1$ और 6 पदों के साथ आपको pi की प्रसिद्ध सतत भिन्न मिलती है। $n = 6$ पर नीचे से ऊपर काम करते हुए: $t$ की शुरुआत 0 से होती है; $k=6$ देता है $$36/13 = 2.769231$$ $k=5$ देता है $$25/13.769231 = 1.815651$$ $k=4$ देता है $1.479323$; $k=3$ देता है $1.061407$; $k=2$ देता है $0.659912$; $k=1$ देता है $0.273156$। फिर $$f_6 = 4/(1 + 0.273156) = 3.141962$$ जो पहले ही $pi = 3.141593$ के काफी करीब है। और अधिक अभिसरण के लिए पदों की संख्या बढ़ाएँ।

Sequence of convergents approaching the value pi on a number line — Successive convergents $f_n$ oscillate and close in on the true value (here pi).

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मान स्थिरांक से ठीक-ठीक मेल क्यों नहीं खाता? हर अभिसारी केवल एक छँटाई (truncation) है। अधिक पद यानी अधिक सटीकता, हालाँकि डबल-प्रिसिज़न उपयोगी अंकों को लगभग 15 तक ही सीमित रखती है।

अगर मेरी भिन्न अपसरित हो जाए तो? कुछ व्यंजक दोलन करते हैं या अपसरित हो जाते हैं। अभिसारी तालिका आपको यह व्यवहार देखने और तय करने देती है कि सीमा मौजूद है या नहीं।

और कौन-से उदाहरण आज़मा सकता हूँ? $1/(e-1)$: $a_0=1$, $b_0=1$, $a_n=n+1$, $b_n=n+1$। मूल दो: $a_0=2$, $b_0=1$, $a_n=1$, $b_n=2$। मूल दो का प्राकृतिक लघुगणक: $a_0=1$, $b_0=3$, $a_n=-n^2$, $b_n=3(2n+1)$।

संबंधित कैलकुलेटर

फ़ंक्शन सतत भिन्न मूल्यांकनकर्ता

सामान्यीकृत सतत भिन्न f(x)=b0+a1/(b1+a2/(b2+...)) का मूल्यांकन करें, जहाँ b0, a_n, b_n, x और n पर आधारित गणितीय व्यंजक हैं। अभिसरित मान और आंशिक अभिसारी दिखाता है।