Что это за калькулятор?
Этот универсальный математический инструмент строит таблицу значений сферических функций Ганкеля первого рода \(h_v^{(1)}(x)\) и второго рода \(h_v^{(2)}(x)\), а также их первых производных — на последовательности действительных аргументов \(x\) для выбранного целого порядка \(v\). Поскольку эти функции комплекснозначные, каждое значение выводится в виде действительной и мнимой частей, а также модуля.
Как пользоваться
Выберите, какую функцию нужно затабулировать (первый род, второй род или одну из производных). Задайте целый порядок \(v\), начальное значение \(x\), шаг между соседними значениями \(x\) и количество точек. Калькулятор формирует строку для каждого \(k\) от 0 до \(N-1\), где \(x = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\), и вычисляет выбранную функцию в каждой точке \(x\).
Разбор формулы
Сферические функции Бесселя задаются в замкнутом виде: \(j_0(x) = \sin(x)/x\), \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\), \(y_0(x) = -\cos(x)/x\), \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\). Старшие порядки получаются по трёхчленному рекуррентному соотношению $$f_{v+1} = \frac{2v+1}{x}\,f_v - f_{v-1}.$$ Затем $$h_v^{(1)} = j_v + i\,y_v \quad \text{и} \quad h_v^{(2)} = j_v - i\,y_v$$ (комплексно-сопряжённая). Производные считаются по формуле $$f_v'(x) = f_{v-1}(x) - \frac{v+1}{x}\,f_v(x),$$ причём \(f_0' = -f_1\).
Пример расчёта
Для \(h_v^{(1)}(x)\) при \(v = 0\) и \(\text{initialX} = 2\): \(j_0(2) = \sin(2)/2 = 0{,}4546487\), \(y_0(2) = -\cos(2)/2 = 0{,}2080734\), поэтому \(h_0^{(1)}(2) = 0{,}4546487 + 0{,}2080734\,i\) с модулем \(1/x = 0{,}5\). Для второго рода \(h_0^{(2)}(2)\) у мнимой части меняется знак: \(-0{,}2080734\).
Частые вопросы
Почему нельзя указывать \(x = 0\)? Во всех формулах присутствует деление на \(x\), а \(y_v\) стремится к бесконечности при \(x \to 0\), поэтому такие строки помечаются как особые (сингулярные).
Почему \(|h_0^{(1)}(x)|\) равен \(1/x\)? Потому что \(j_0^2 + y_0^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)/x^2 = 1/x^2\).
Поддерживаются ли нецелые порядки? В этой версии используются точные замкнутые формы и рекуррентные соотношения для целых порядков; нецелые порядки не поддерживаются.
