Что делает этот калькулятор
Введите длины трёх сторон треугольника — и мгновенно получите все три внутренних угла, причём сразу в двух форматах: в десятичных градусах и в градусах-минутах-секундах (D° M′ S″). Вместе с углами калькулятор покажет площадь треугольника и высоту, опущенную на самую длинную сторону. Это чистая геометрия, поэтому работают любые согласованные единицы длины (см, м, дюймы или числа без единиц): углы безразмерны, а площадь выражается в квадрате выбранной вами единицы.
Как пользоваться
Укажите значения для стороны a, стороны b и стороны c. Три стороны обязаны удовлетворять неравенству треугольника: каждая сторона должна быть положительной и строго меньше суммы двух других. Если это условие нарушено, треугольника не существует, и калькулятор сообщит об этом. Угол A всегда лежит против стороны a, угол B — против стороны b, а угол C — против стороны c.
Разбор формулы
Углы находятся по теореме косинусов. Для угла A, лежащего против стороны a: \(\cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}\), отсюда \(A = \cos^{-1}(\dots)\). Аналогично вычисляются B и C.
$$A = \cos^{-1}\!\left( \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2\,b\,c} \right), \quad B = \cos^{-1}\!\left( \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2\,a\,c} \right), \quad C = 180^{\circ} - A - B$$Поскольку из-за округления аргумент косинуса может слегка выйти за пределы \(\pm 1\), его предварительно ограничивают допустимым диапазоном — это гарантирует правильный расчёт тупых углов. Площадь считается по формуле Герона через полупериметр \(s = \dfrac{a+b+c}{2}\): $$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ Высота, которую показывает калькулятор, — это перпендикуляр, опущенный на самую длинную сторону: $$h = \frac{2S}{\text{наибольшая сторона}}.$$ Каждый угол в десятичных градусах раскладывается на \(D = \lfloor \text{градусы} \rfloor\), \(M = \lfloor (\text{градусы} - D) \times 60 \rfloor\) и S — оставшиеся секунды, округлённые до двух знаков.
Разбор примера
Пусть \(a = 4\), \(b = 2\), \(c = 3\): тогда \(s = 4{,}5\) и $$S = \sqrt{4{,}5 \times 0{,}5 \times 2{,}5 \times 1{,}5} \approx 2{,}90474.$$ Самая длинная сторона — \(a = 4\), поэтому \(h = \dfrac{2S}{4} \approx 1{,}45237\). \(\cos A = \dfrac{4+9-16}{12} = -0{,}25\), что даёт \(A \approx 104{,}4775^{\circ}\) (104° 28′ 39,05″). Аналогично \(B \approx 28{,}9550^{\circ}\) и \(C \approx 46{,}5675^{\circ}\) — в сумме ровно 180°.
Частые вопросы
Подходит ли он для тупоугольных треугольников? Да. Теорема косинусов сама возвращает угол больше 90° всякий раз, когда квадрат стороны превышает сумму квадратов двух других сторон.
Почему мои углы в сумме дают 180°? Сумма внутренних углов любого евклидова треугольника равна 180°; калькулятор вычисляет угол C как \(180 - A - B\), чтобы это равенство выполнялось точно.
В каких единицах получаются результаты? Углы — в градусах, высота — в тех же единицах, что и стороны, а площадь — в квадрате этой единицы.
