ماذا تفعل هذه الحاسبة
أدخل أطوال أضلاع المثلث الثلاثة لتحصل فورًا على زواياه الداخلية الثلاث — بالدرجات العشرية وبصيغة درجة-دقيقة-ثانية (D° M′ S″) — إضافةً إلى مساحته والارتفاع المرسوم على أطول ضلع. العملية هندسية بحتة، لذا تعمل مع أي وحدة طول متناسقة (سم، متر، بوصة، أو قيم بلا وحدة)؛ فالزوايا لا أبعاد لها، والمساحة تظهر بمربع وحدة الإدخال التي اخترتها.
طريقة الاستخدام
اكتب قيمة للضلع a، والضلع b، والضلع c. يجب أن تحقق الأضلاع الثلاثة متباينة المثلث: فكل ضلع لا بد أن يكون موجبًا وأصغر تمامًا من مجموع الضلعين الآخرين. وإذا لم تتحقق هذه الشروط فلا وجود لمثلث، وتنبهك الحاسبة بذلك. الزاوية A هي دائمًا الزاوية المقابلة للضلع a، والزاوية B مقابلة للضلع b، والزاوية C مقابلة للضلع c.
شرح الصيغة الرياضية
تُستخرج الزوايا من قانون جيب التمام (Law of Cosines). فبالنسبة للزاوية A المقابلة للضلع a:
$$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$$ثم \(A = \arccos(\dots)\). ويُطبَّق النمط نفسه لإيجاد B وC. ولأن التقريب قد يدفع قيمة جيب التمام إلى تجاوز \(\pm 1\) بقليل، يجري حصرها أولًا ضمن المجال الصحيح، ما يحافظ على دقة الزوايا المنفرجة. أما المساحة فتُحسب بصيغة هيرون باستخدام نصف المحيط \(s = \frac{a+b+c}{2}\)، فنحصل على
$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$والارتفاع المعروض هو العمود النازل على أطول ضلع:
$$h = \frac{2S}{\text{أطول ضلع}}$$وتُقسَّم كل زاوية عشرية إلى \(D\) = الجزء الصحيح للدرجات، و\(M\) = الجزء الصحيح من \(((\deg - D) \times 60)\)، و\(S\) = ما تبقى من الثواني معروضًا برقمين عشريين.
مثال محلول
لنفترض \(a = 4\)، \(b = 2\)، \(c = 3\): فإن \(s = 4.5\) و\(S = \sqrt{4.5 \times 0.5 \times 2.5 \times 1.5} \approx 2.90474\). وبما أن أطول ضلع هو \(a = 4\)، فإن \(h = \frac{2S}{4} \approx 1.45237\). أما \(\cos A = \frac{4+9-16}{12} = -0.25\)، ما يعطي \(A \approx 104.4775^{\circ}\) (\(104^{\circ}\ 28^{\prime}\ 39.05^{\prime\prime}\)). وبالمثل \(B \approx 28.9550^{\circ}\) و\(C \approx 46.5675^{\circ}\)، ومجموعها يساوي \(180^{\circ}\) تمامًا.
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل مع المثلثات المنفرجة؟ نعم. يعطي قانون جيب التمام بطبيعته زوايا أكبر من \(90^{\circ}\) كلما تجاوز مربع أحد الأضلاع مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
لماذا يبلغ مجموع زواياي 180°؟ مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث إقليدي يساوي \(180^{\circ}\)؛ وتشتق الحاسبة الزاوية C على أنها \(180 - A - B\) لضمان ذلك بدقة تامة.
ما وحدات النتائج؟ الزوايا بالدرجات، والارتفاع بنفس وحدة الأضلاع، والمساحة بمربع تلك الوحدة.
