ما هو المثلث 30-60-90؟
المثلث 30-60-90 هو مثلث قائم الزاوية مميّز تبلغ قياسات زواياه الثلاث 30° و60° و90°. وبما أن الزوايا ثابتة، تحافظ الأضلاع الثلاثة دائمًا على النسب نفسها: \(1 : \sqrt{3} : 2\). فالضلع المقابل للزاوية 30° (الضلع القصير) هو الأصغر، والضلع المقابل للزاوية 60° (الضلع الطويل) أطول بمقدار \(\sqrt{3}\)، أما الضلع المقابل للزاوية القائمة 90° فهو الوتر — وطوله يساوي تمامًا ضعف الضلع القصير. تأخذ هذه الحاسبة طول الوتر وتُرجع لك الضلعَين فورًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل طول الوتر (الضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة) بأي وحدة قياس تفضّلها. ستُرجع الحاسبة الضلع القصير والضلع الطويل بالوحدة نفسها. ولا حاجة لاختيار وحدة معيّنة، لأن النسب هندسية بحتة لا تتأثر بالوحدة.
شرح المعادلة
انطلاقًا من النسبة \(1 : \sqrt{3} : 2\)، نقسم كل حدّ على 2 للتعبير عن الضلعَين بدلالة الوتر ح:
$$\text{الضلع القصير} = \frac{\text{ح}}{2}, \quad \text{الضلع الطويل} = \frac{\text{ح}\sqrt{3}}{2}$$وبما أن \(\sqrt{3} \approx 1.7320508\)، فإن الضلع الطويل يساوي تقريبًا \(0.866 \times \text{ح}\).
مثال محلول
لنفترض أن طول الوتر يساوي 10. عندئذٍ يكون الضلع القصير \(= 10 \div 2 = 5\)، والضلع الطويل \(= (10 \times 1.7320508) \div 2 = 17.320508 \div 2 = 8.6602540\). وبذلك تكون أضلاع المثلث: 5 و8.66 و10.
الوتر إلى الأضلاع: سيناريوهات المرجع السريع
في مثلث قائم الزاوية 30-60-90، تكون الأضلاع دائماً بنسبة ثابتة \(1 : \sqrt{3} : 2\). الضلع القصير (المقابل لزاوية 30°) يساوي نصف الوتر بالضبط، والضلع الطويل (المقابل لزاوية 60°) يساوي الوتر مضروباً في \(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254\). يطبق الجدول أدناه هاتين الصيغتين على مجموعة من قيم الوتر الشائعة:
$$a = \frac{h}{2}, \qquad b = \frac{\sqrt{3}}{2}\,h \approx 0.8660254\,h$$| الوتر \(h\) | الضلع القصير \(a = h/2\) | الضلع الطويل \(b = 0.8660254\,h\) |
|---|---|---|
| 1 | 0.5 | 0.8660 |
| 2 | 1 | 1.7321 |
| 5 | 2.5 | 4.3301 |
| 10 | 5 | 8.6603 |
| 12 | 6 | 10.3923 |
| 20 | 10 | 17.3205 |
| 100 | 50 | 86.6025 |
تُقرَّب القيم إلى أربع منازل عشرية عندما لا تكون دقيقة تماماً. لاحظ أنه بالنسبة للوتر الزوجي، يكون الضلع القصير عدداً صحيحاً، بينما الضلع الطويل دائماً عدد غير نسبي (مضاعف \(\sqrt{3}\)). للمقارنة، مثلث 45-45-90 يقسم وتره بشكل مختلف — كل ضلع متساوي يساوي 7.0711 لوتر يساوي 10.
الأسئلة الشائعة
أي ضلع هو الوتر؟ هو دائمًا الضلع الأطول، ويقع مقابل الزاوية القائمة 90°.
لماذا ليس الضلع الطويل ضعف الضلع القصير؟ الوتر وحده هو الذي يساوي تمامًا ضعف الضلع القصير، أما الضلع الطويل فيساوي \(\sqrt{3}\) (≈1.732) مضروبة في الضلع القصير.
هل يمكنني الحساب بالاتجاه العكسي انطلاقًا من ضلع؟ نعم — لكن هذه الأداة تبدأ من الوتر. فإذا عرفت الضلع القصير، فإن الوتر يساوي ضعفه؛ وإذا عرفت الضلع الطويل، فاقسمه على \(\sqrt{3}\) للحصول على الضلع القصير.
