30-60-90 त्रिभुज क्या होता है?
30-60-90 त्रिभुज एक विशेष समकोण त्रिभुज है जिसके तीनों कोण 30°, 60° और 90° होते हैं। चूँकि कोण हमेशा एक जैसे रहते हैं, इसलिए इसकी तीनों भुजाओं का अनुपात भी सदा स्थिर रहता है: 1 : √3 : 2। 30° कोण के सामने वाली भुजा (छोटी भुजा) सबसे छोटी होती है, 60° कोण के सामने वाली भुजा (लंबी भुजा) उससे √3 गुना बड़ी होती है, और 90° कोण के सामने वाली भुजा कर्ण कहलाती है — जो छोटी भुजा से ठीक दोगुनी होती है। यह कैलकुलेटर आपसे कर्ण लेकर तुरंत दोनों भुजाएँ बता देता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कर्ण की लंबाई (सबसे बड़ी भुजा, जो समकोण के सामने होती है) किसी भी इकाई में दर्ज करें। कैलकुलेटर उसी इकाई में छोटी भुजा और लंबी भुजा का मान लौटा देगा। इकाई चुनने की ज़रूरत नहीं, क्योंकि ये अनुपात पूरी तरह ज्यामितीय हैं।
सूत्र को समझें
1 : √3 : 2 अनुपात से शुरू करते हुए, हर पद को 2 से भाग देने पर दोनों भुजाएँ कर्ण h के संदर्भ में इस तरह आती हैं:
$$\text{short} = \frac{h}{2}, \quad \text{long} = \frac{h\sqrt{3}}{2}$$ चूँकि \(\sqrt{3} \approx 1.7320508\) होता है, इसलिए लंबी भुजा लगभग \(0.866 \times h\) के बराबर होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए कर्ण 10 है। तब छोटी भुजा होगी $$10 \div 2 = 5$$ और लंबी भुजा होगी $$(10 \times 1.7320508) \div 2 = 17.320508 \div 2 = 8.6602540$$ यानी इस त्रिभुज की भुजाएँ हैं 5, 8.66 और 10।
कर्ण से भुजा तक: त्वरित संदर्भ परिस्थितियाँ
एक 30-60-90 समकोण त्रिभुज में भुजाएँ हमेशा निश्चित अनुपात \(1 : \sqrt{3} : 2\) में होती हैं। छोटी भुजा (30° कोण के सामने) कर्ण का ठीक आधा होता है, और लंबी भुजा (60° कोण के सामने) कर्ण गुणा \(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254\) होती है। नीचे दी गई तालिका कर्ण के सामान्य मानों की एक श्रृंखला पर इन दोनों सूत्रों को लागू करती है:
$$a = \frac{h}{2}, \qquad b = \frac{\sqrt{3}}{2}\,h \approx 0.8660254\,h$$| कर्ण \(h\) | छोटी भुजा \(a = h/2\) | लंबी भुजा \(b = 0.8660254\,h\) |
|---|---|---|
| 1 | 0.5 | 0.8660 |
| 2 | 1 | 1.7321 |
| 5 | 2.5 | 4.3301 |
| 10 | 5 | 8.6603 |
| 12 | 6 | 10.3923 |
| 20 | 10 | 17.3205 |
| 100 | 50 | 86.6025 |
मानों को चार दशमलव स्थानों पर पूर्णांकित किया गया है जहाँ वे पूर्ण नहीं हैं। ध्यान दें कि सम कर्ण के लिए छोटी भुजा एक पूर्ण संख्या है, जबकि लंबी भुजा हमेशा अपरिमेय होती है (\(\sqrt{3}\) का गुणक)। तुलना के लिए, एक 45-45-90 त्रिभुज अपने कर्ण को अलग तरीके से विभाजित करता है — प्रत्येक समान भुजा कर्ण 10 के लिए 7.0711 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
कर्ण कौन-सी भुजा होती है? यह हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है और 90° समकोण के ठीक सामने स्थित होती है।
लंबी भुजा छोटी भुजा की दोगुनी क्यों नहीं होती? केवल कर्ण ही छोटी भुजा से ठीक दोगुना होता है। लंबी भुजा छोटी भुजा से \(\sqrt{3}\) (≈1.732) गुना होती है।
क्या मैं किसी भुजा से उल्टी गणना कर सकता हूँ? हाँ — पर यह टूल कर्ण से शुरू होता है। अगर आपको छोटी भुजा पता है, तो कर्ण उसका दोगुना होगा; और अगर लंबी भुजा पता है, तो उसे \(\sqrt{3}\) से भाग देकर छोटी भुजा मिल जाएगी।
