45-45-90 त्रिभुज क्या होता है?
45-45-90 त्रिभुज एक खास समकोण त्रिभुज है जिसके कोण 45°, 45° और 90° होते हैं। चूँकि इसके दो कोण (समकोण को छोड़कर) बराबर हैं, इसलिए यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज भी है — यानी समकोण से लगी दोनों भुजाएँ एक समान लंबाई की होती हैं। कर्ण सबसे लंबी भुजा होता है, जो 90° कोण के सामने होता है। यह कैलकुलेटर तब काम आता है जब आपको कर्ण की लंबाई पता हो और आप हर भुजा की लंबाई जानना चाहते हों।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कर्ण की लंबाई किसी भी इकाई में डालें (सेंटीमीटर, इंच, मीटर — परिणाम भी उसी इकाई में मिलेगा)। यह टूल तुरंत हर बराबर भुजा की लंबाई, साथ ही त्रिभुज का क्षेत्रफल और परिमाप बता देता है। चूँकि दोनों भुजाएँ एक समान हैं, इसलिए एक ही मान दोनों पर लागू होता है।
सूत्र की पूरी समझ
45-45-90 त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात हमेशा 1 : 1 : √2 रहता है। अगर भुजा a है, तो कर्ण a√2 होगा। इसी को उलटकर हम कर्ण c से सीधे भुजा निकाल सकते हैं:
भुजा = c / √2, जिसे हर का परिमेयकरण करने पर भुजा = c·√2 / 2 भी लिखा जा सकता है।
$$a = \dfrac{c}{\sqrt{2}} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}$$इसके बाद क्षेत्रफल A = भुजा² / 2 और परिमाप 2·भुजा + c होता है।
$$A = \dfrac{a^2}{2}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए कर्ण 10 है। तब भुजा = 10 / √2 ≈ 10 / 1.41421 ≈ 7.0711। क्षेत्रफल 7.0711² / 2 ≈ 50 / 2 = 25 होगा, और परिमाप 2 × 7.0711 + 10 ≈ 24.1421 होगा।
$$\text{भुजा} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} \approx \dfrac{10}{1.41421} \approx 7.0711$$$$A = \dfrac{7.0711^2}{2} \approx \dfrac{50}{2} = 25$$$$P = 2 \times 7.0711 + 10 \approx 24.1421$$सामान्य कर्ण मानों के लिए पैर की लंबाई
एक 45-45-90 समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में, दोनों पैर बराबर हैं और प्रत्येक को कर्ण से \(\text{पैर} = \frac{c}{\sqrt{2}}\) का उपयोग करके पाया जाता है। एक बार पैर ज्ञात हो जाने के बाद, क्षेत्रफल \(\frac{\text{पैर}^2}{2}\) है और परिमाप \(2\,\text{पैर} + c\) है। नीचे दी गई तालिका इन सूत्रों को कई सामान्य कर्ण मानों पर लागू करती है, परिणाम दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित हैं।
| कर्ण \(c\) | पैर \(= c/\sqrt{2}\) | क्षेत्रफल \(= \text{पैर}^2/2\) | परिमाप \(= 2\,\text{पैर} + c\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.71 | 0.25 | 2.41 |
| 2 | 1.41 | 1.00 | 4.83 |
| 5 | 3.54 | 6.25 | 12.07 |
| 10 | 7.07 | 25.00 | 24.14 |
| 14.14 | 10.00 | 50.00 | 34.14 |
| 20 | 14.14 | 100.00 | 48.28 |
| 100 | 70.71 | 2500.00 | 241.42 |
ध्यान दें कि जब कर्ण लगभग 14.14 है (जो \(10\sqrt{2}\) के बराबर है), तो पैर बिल्कुल 10 पर आते हैं, यह दर्शाता है कि \(\sqrt{2}\) गुणक पैर और कर्ण को कैसे जोड़ता है। प्रत्येक पैर कर्ण का लगभग 70.7% है, इसलिए कर्ण को दोगुना करने से पैर दोगुना हो जाता है और क्षेत्रफल चौगुना हो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या वाकई दोनों भुजाएँ बराबर होती हैं? हाँ। चूँकि दोनों न्यून कोण 45° के हैं, इसलिए उनके सामने वाली भुजाएँ बराबर होती हैं — यही इसे समद्विबाहु बनाता है।
√2 से गुणा क्यों नहीं, बल्कि भाग क्यों करते हैं? कर्ण सबसे लंबी भुजा है और वह भुजा को √2 से गुणा करने पर मिलता है। इसलिए कर्ण से वापस भुजा तक जाने के लिए हम √2 से भाग देते हैं।
क्या इकाई से फर्क पड़ता है? नहीं। भुजा उसी इकाई में आएगी जिसमें आपने कर्ण डाला है, क्योंकि यह गणना सिर्फ एक अनुपात पर आधारित है।
