45-45-90 Üçgeni Nedir?
45-45-90 üçgeni, açıları 45°, 45° ve 90° olan özel bir dik üçgendir. Dik açının dışındaki iki açı eşit olduğundan bu üçgen aynı zamanda ikizkenar dik üçgendir; yani dik açıyı oluşturan iki dik kenarın uzunlukları birbirine eşittir. Hipotenüs ise 90°'lik açının karşısında yer alan ve üçgenin en uzun kenarı olan kenardır. Bu hesaplayıcı, elinizde hipotenüs uzunluğu varken her bir dik kenarın uzunluğunu bulmanızı sağlar.
Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
Hipotenüs uzunluğunu istediğiniz birimde girin (santimetre, inç, metre — sonuç da aynı birimde döner). Araç, her bir eşit dik kenarın uzunluğunu ve buna ek olarak üçgenin alanını ve çevresini anında hesaplar. İki dik kenar birbirinin aynısı olduğundan, tek bir değer ikisi için de geçerlidir.
Formülün Açıklaması
45-45-90 üçgeninde kenarlar her zaman 1 : 1 : √2 oranındadır. Dik kenar a ise, hipotenüs a√2 olur. Bu eşitliği düzenlediğimizde dik kenarı doğrudan hipotenüs c'den şöyle elde ederiz:
$$\text{dik kenar} = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$$. Paydayı rasyonel hale getirdiğimizde bu ifade $$\text{dik kenar} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}$$ şeklinde de yazılabilir. Alan $$A = \dfrac{\text{dik kenar}^2}{2}$$, çevre ise \(2\cdot\text{dik kenar} + c\) formülüyle bulunur.
Çözümlü Örnek
Hipotenüsün 10 olduğunu varsayalım. Bu durumda \(\text{dik kenar} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} \approx \dfrac{10}{1{,}41421} \approx 7{,}0711\) olur. Alan \(\dfrac{7{,}0711^2}{2} \approx \dfrac{50}{2} = 25\), çevre ise \(2 \times 7{,}0711 + 10 \approx 24{,}1421\) olarak bulunur.
Yaygın Hipotenüs Değerleri için Kenar Uzunluğu
Bir 45-45-90 dik ikizkenar üçgende, iki kenar eşittir ve her biri hipotenüsten \(\text{kenar} = \frac{c}{\sqrt{2}}\) kullanılarak bulunur. Kenar bilindiğinde, alan \(\frac{\text{kenar}^2}{2}\) ve çevre \(2\,\text{kenar} + c\) olur. Aşağıdaki tablo bu formülleri birkaç yaygın hipotenüs değerine uygular ve sonuçlar iki ondalık basamağa yuvarlanmıştır.
| Hipotenüs \(c\) | Kenar \(= c/\sqrt{2}\) | Alan \(= \text{kenar}^2/2\) | Çevre \(= 2\,\text{kenar} + c\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.71 | 0.25 | 2.41 |
| 2 | 1.41 | 1.00 | 4.83 |
| 5 | 3.54 | 6.25 | 12.07 |
| 10 | 7.07 | 25.00 | 24.14 |
| 14.14 | 10.00 | 50.00 | 34.14 |
| 20 | 14.14 | 100.00 | 48.28 |
| 100 | 70.71 | 2500.00 | 241.42 |
Hipotenüs yaklaşık 14.14 (\(10\sqrt{2}\) eşittir) olduğunda, kenarların tam olarak 10 olduğunu dikkat edin, bu \(\sqrt{2}\) faktörünün kenar ve hipotenüsü nasıl bağladığını gösterir. Her kenar hipotenüsün kabaca %70.7'sidir, bu nedenle hipotenüsü ikiye katlamak kenarı ikiye katlar ve alanı dört katına çıkarır.
Sıkça Sorulan Sorular
İki dik kenar gerçekten eşit mi? Evet. İki dar açının da 45° olması nedeniyle bu açıların karşısındaki kenarlar eşittir; bu da üçgeni ikizkenar yapar.
Neden √2 ile çarpmak yerine bölüyoruz? Hipotenüs en uzun kenardır ve dik kenarın √2 katına eşittir. Dolayısıyla hipotenüsten dik kenara geri dönmek için √2'ye bölmek gerekir.
Birim önemli mi? Hayır. Hesaplama tamamen bir orana dayandığı için dik kenar, hipotenüs için hangi birimi girdiyseniz o birimde çıkar.
