Qu'est-ce qu'un triangle 45-45-90 ?
Un triangle 45-45-90 est un triangle rectangle particulier dont les angles mesurent 45°, 45° et 90°. Comme ses deux angles non droits sont égaux, c'est aussi un triangle rectangle isocèle : les deux côtés de l'angle droit (les cathètes) ont la même longueur. L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle de 90°. Ce calculateur détermine la longueur de chaque cathète lorsque vous connaissez déjà l'hypoténuse.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la longueur de l'hypoténuse dans l'unité de votre choix (cm, pouces, mètres — le résultat est exprimé dans la même unité). L'outil affiche instantanément la longueur de chaque cathète égale, ainsi que l'aire et le périmètre du triangle. Les deux côtés étant identiques, une seule valeur s'applique aux deux.
La formule expliquée
Dans un triangle 45-45-90, les côtés sont toujours dans le rapport 1 : 1 : √2. Si la cathète vaut a, l'hypoténuse vaut \(a\sqrt{2}\). En réarrangeant, on obtient directement la cathète à partir de l'hypoténuse c :
$$\text{cathète} = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$$, que l'on peut aussi écrire $$\text{cathète} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}$$ après rationalisation du dénominateur. L'aire vaut alors $$A = \dfrac{\text{cathète}^2}{2}$$ et le périmètre \(2\cdot\text{cathète} + c\).
Exemple détaillé
Supposons une hypoténuse de 10. Alors $$\text{cathète} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} \approx \dfrac{10}{1{,}41421} \approx 7{,}0711.$$ L'aire est de \(\dfrac{7{,}0711^2}{2} \approx \dfrac{50}{2} = 25\), et le périmètre de \(2 \times 7{,}0711 + 10 \approx 24{,}1421\).
Longueur des côtés pour les valeurs communes de l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle isocèle 45-45-90, les deux côtés sont égaux et chacun se trouve à partir de l'hypoténuse en utilisant \(\text{côté} = \frac{c}{\sqrt{2}}\). Une fois le côté connu, l'aire est \(\frac{\text{côté}^2}{2}\) et le périmètre est \(2\,\text{côté} + c\). Le tableau ci-dessous applique ces formules à plusieurs valeurs communes d'hypoténuse, avec les résultats arrondis à deux décimales.
| Hypoténuse \(c\) | Côté \(= c/\sqrt{2}\) | Aire \(= \text{côté}^2/2\) | Périmètre \(= 2\,\text{côté} + c\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,71 | 0,25 | 2,41 |
| 2 | 1,41 | 1,00 | 4,83 |
| 5 | 3,54 | 6,25 | 12,07 |
| 10 | 7,07 | 25,00 | 24,14 |
| 14,14 | 10,00 | 50,00 | 34,14 |
| 20 | 14,14 | 100,00 | 48,28 |
| 100 | 70,71 | 2500,00 | 241,42 |
Notez que lorsque l'hypoténuse est d'environ 14,14 (ce qui équivaut à \(10\sqrt{2}\)), les côtés sortent exactement à 10, illustrant comment le facteur \(\sqrt{2}\) relie le côté et l'hypoténuse. Chaque côté représente environ 70,7 % de l'hypoténuse, donc doubler l'hypoténuse double le côté et quadruple l'aire.
FAQ
Les deux cathètes sont-elles vraiment égales ? Oui. Comme les deux angles aigus mesurent chacun 45°, les côtés qui leur sont opposés sont égaux, ce qui rend le triangle isocèle.
Pourquoi diviser par √2 plutôt que multiplier ? L'hypoténuse est le côté le plus long et vaut une cathète multipliée par √2 ; pour revenir de l'hypoténuse à une cathète, on divise donc par √2.
L'unité a-t-elle une importance ? Non. La cathète s'exprime dans l'unité utilisée pour l'hypoténuse, puisque le calcul repose sur un simple rapport.
