ما هي حاسبة جدول دالة هانكل الكروية؟
هذه أداة رياضية شاملة تتيح لك إنشاء جدول لدوال هانكل الكروية من النوع الأول \(h_v^{(1)}(x)\) والنوع الثاني \(h_v^{(2)}(x)\)، إضافةً إلى مشتقاتها الأولى، على سلسلة من القيم الحقيقية للمتغير \(x\) عند رتبة صحيحة \(v\) تختارها. ولأن هذه الدوال ذات قيم عقدية (مركّبة)، يُعرض كل عنصر في الجدول على هيئة جزء حقيقي وجزء تخيلي، إلى جانب المقدار (القيمة المطلقة).
طريقة الاستخدام
اختر الدالة التي تريد جدولتها (النوع الأول، أو النوع الثاني، أو أيٍّ من المشتقتين). ثم حدِّد الرتبة الصحيحة \(v\)، والقيمة الابتدائية لـ \(x\)، ومقدار الخطوة (الزيادة) بين القيم المتتالية لـ \(x\)، وعدد النقاط المطلوب توليدها. تبني الحاسبة صفًّا لكل \(k\) من 0 إلى \(N-1\) حيث \(x = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\)، وتحسب الدالة المختارة عند كل قيمة \(x\).
شرح الصيغة
تعتمد دوال بيسل الكروية على صيغ مغلقة: \(j_0(x) = \sin(x)/x\)، و \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\)، و \(y_0(x) = -\cos(x)/x\)، و \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\). أما الرتب الأعلى فتُحسب عبر علاقة التراجع ثلاثية الحدود: $$f_{v+1} = \frac{2v+1}{x}\,f_v - f_{v-1}.$$ وبعد ذلك نحصل على \(h_v^{(1)} = j_v + i\,y_v\) و \(h_v^{(2)} = j_v - i\,y_v\) (المرافق العقدي). وتُحسب المشتقات بالعلاقة $$f_v'(x) = f_{v-1}(x) - \frac{v+1}{x}\,f_v(x),$$ مع \(f_0' = -f_1\).
مثال محلول
لحساب \(h_v^{(1)}(x)\) عند \(v = 0\) و \(\text{initialX} = 2\): لدينا \(j_0(2) = \sin(2)/2 = 0.4546487\)، و \(y_0(2) = -\cos(2)/2 = 0.2080734\)، ومن ثمّ \(h_0^{(1)}(2) = 0.4546487 + 0.2080734\,i\) بمقدار يساوي \(1/x = 0.5\). أما في حالة النوع الثاني \(h_0^{(2)}(2)\) فينقلب إشارة الجزء التخيلي ليصبح \(-0.2080734\).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يُسمح بالقيمة \(x = 0\)؟ لأن كل صيغة تتضمّن قسمة على \(x\)، كما أن \(y_v\) تتباعد (تتجه إلى ما لا نهاية) عندما يقترب \(x\) من الصفر، لذا تُعلَّم تلك الصفوف على أنها شاذة (نقاط تفرّد).
لماذا يساوي \(|h_0^{(1)}(x)|\) القيمة \(1/x\)؟ لأن \(j_0^2 + y_0^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)/x^2 = 1/x^2\).
هل تدعم الحاسبة الرتب غير الصحيحة؟ يستخدم هذا الإصدار صيغًا مغلقة وعلاقات تراجع دقيقة للرتب الصحيحة فقط؛ ولذلك فإن الرتب غير الصحيحة غير مدعومة.
