Máy tính hàm điều hòa cầu là gì?
Hàm điều hòa cầu \(Y_{n}^{m}(\theta,\phi)\) chính là phần góc trong nghiệm của phương trình Laplace khi viết theo tọa độ cầu. Chúng tạo thành một hệ cơ sở trực chuẩn đầy đủ trên bề mặt hình cầu và xuất hiện ở khắp mọi lĩnh vực vật lý và kỹ thuật: orbital nguyên tử trong cơ học lượng tử, khai triển đa cực trong điện từ học và trường hấp dẫn, bức xạ nền vi sóng vũ trụ trong vũ trụ học, các mô hình từ trường Trái Đất trong địa vật lý, cho tới mô hình chiếu sáng trong đồ họa máy tính. Máy tính này tính giá trị phức của hàm điều hòa ứng với bậc \(n\), cấp \(m\), góc cực (thiên đỉnh) \(\theta\) và góc phương vị \(\phi\) mà bạn chọn.
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn quy ước: kiểu A (Wolfram/Mathematica) dùng thừa số pha \(e^{i m \phi}\); kiểu B (Maple) dùng \(e^{i m (\phi+\pi)}\), khác kiểu A một thừa số \((-1)^{m}\). Nhập bậc nguyên \(n \ge 0\) và cấp nguyên \(m\) thỏa \(-n \le m \le n\). Nhập góc thiên đỉnh \(\theta\) và góc phương vị \(\phi\) theo đơn vị góc đã chọn (độ hoặc radian — cùng một đơn vị áp dụng cho cả hai). Cuối cùng chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, rồi đọc kết quả phần thực, phần ảo cùng với biên độ và pha.
Công thức
Đặt \(x = \cos\theta\). Hệ số chuẩn hóa là
$$N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}.$$Hàm Legendre liên kết \(P_{n}^{m}(x)\) được dựng bằng công thức truy hồi xuất phát từ
$$P_{m}^{m}(x) = (-1)^{m}(2m-1)!!\,(1-x^{2})^{m/2}.$$Khi đó với kiểu A:
$$Y = N \cdot P_{n}^{m}(x) \cdot (\cos(m\phi) + i\cdot\sin(m\phi)).$$Với cấp âm ta dùng
$$P_{n}^{-m}(x) = (-1)^{m}\frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_{n}^{m}(x).$$Tại các cực (\(x = \pm1\)) chỉ có \(m = 0\) cho giá trị khác 0.
Ví dụ minh họa
Dùng giá trị mặc định, kiểu A: \(n=2\), \(m=1\), \(\theta=45^{\circ}\), \(\phi=0\). Khi đó \(x = \cos45^{\circ} = 0{,}7071068\),
$$\frac{2n+1}{4\pi} = \frac{5}{4\pi} = 0{,}3978874,$$$$\frac{(n-m)!}{(n+m)!} = \frac{1}{6},$$nên \(N = \sqrt{0{,}0663146} = 0{,}257516\).
$$P_{2}^{1}(x) = -3x\sqrt{1-x^{2}} = -3\cdot0{,}5 = -1{,}5.$$Với \(\phi=0\) thừa số pha bằng 1, cho ra
$$Y = 0{,}257516 \cdot (-1{,}5) = -0{,}386274 + 0\,i,$$biên độ \(0{,}386274\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao kết quả lại là số phức? Thừa số \(e^{i m \phi}\) khiến \(Y\) trở thành số phức, trừ khi \(m\phi\) là bội của \(\pi\) (chẳng hạn \(\phi=0\)), lúc đó phần ảo triệt tiêu.
Vì sao sách tham khảo của tôi ghi +0,386274? Một số tài liệu bỏ qua thừa số pha Condon–Shortley \((-1)^{m}\). Quy ước Wolfram/kiểu A đưa thừa số này vào ngay trong \(P_{n}^{m}\), nên cho ra giá trị âm.
Điều gì xảy ra tại các cực? Tại \(\theta=0\) hoặc \(180^{\circ}\) thừa số \((1-x^{2})^{m/2}\) bằng 0, nên \(Y = 0\) với mọi \(m \ne 0\); chỉ còn \(m=0\) tồn tại.
