Công cụ này làm gì
Công cụ này lập bảng và vẽ đồ thị hàm Bessel cầu biến đổi loại một, \(i_v(x)\), với một bậc \(v\) cố định trên một dãy giá trị \(x\). Bắt đầu từ giá trị \(x\) ban đầu, công cụ cộng thêm một bước nhảy cố định với số lần do bạn chọn, tạo ra các dòng \(x_k = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\) với \(k = 0, 1, \dots, \text{loopCount}-1\), rồi tính \(i_v(x_k)\) cho từng giá trị.
Giải thích công thức
Hàm Bessel cầu biến đổi được định nghĩa thông qua hàm Bessel (trụ) biến đổi loại một \(I\) theo công thức $$i_{v}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\, I_{v+\frac{1}{2}}(x).$$ Với các bậc nguyên không âm nhỏ, ta có những dạng đóng theo hàm hyperbolic rất tiện lợi: \(i_0(x) = \sinh(x)/x\), \(i_1(x) = (x \cosh x - \sinh x)/x^2\), \(i_2(x) = ((x^2+3) \sinh x - 3x \cosh x)/x^3\). Các bậc nguyên cao hơn tuân theo hệ thức truy hồi \(i_{n+1}(x) = i_{n-1}(x) - \frac{2n+1}{x} i_n(x)\). Với bậc thực \(v\) tổng quát, công cụ tính \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) từ chuỗi lũy thừa của nó nhờ hàm Gamma.
Cách sử dụng
Nhập bậc \(v\) (ví dụ 0, 1 hoặc bán nguyên như 0.5), giá trị \(x\) ban đầu, bước nhảy và số dòng bạn muốn. Kết quả hiển thị bảng hai cột gồm \(x\) và \(i_v(x)\); giá trị đầu tiên được làm nổi bật ở trên cùng. Hãy dùng bước nhảy nhỏ như 0.1 để có đường cong mượt.
Ví dụ minh họa
Với \(v = 0\), \(\text{initialX} = 0\), \(\text{stepX} = 0.1\), \(\text{loopCount} = 51\), công cụ dùng hàm \(i_0(x) = \sinh(x)/x\). Dòng đầu tiên tại \(x = 0\) cho giá trị giới hạn bằng 1. Tại \(x = 1\), $$\sinh(1)/1 = 1.17520119.$$ Tại \(x = 5\) (dòng cuối cùng), $$\sinh(5)/5 = 14.84064212,$$ vậy đường cong tăng đều từ 1 lên khoảng 14.84.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra tại \(x = 0\)? Dạng \(\sqrt{\pi/(2x)}\) bị kỳ dị tại đây, nên công cụ trả về giá trị giới hạn: \(i_0(0) = 1\) và \(i_v(0) = 0\) với \(v > 0\).
Bậc có thể là bán nguyên không? Có. Mọi bậc thực đều được chấp nhận; các bậc không nguyên được tính qua chuỗi của \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\).
\(x\) có thể âm không? Các dạng đóng bậc nguyên được định nghĩa với \(x\) âm, nhưng nhánh bậc tổng quát chỉ giới hạn ở \(x \geq 0\) vì căn bậc hai theo nhánh chính của một số âm sẽ là số phức.
