Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, sabit bir v mertebesi için birinci tür değiştirilmiş küresel Bessel fonksiyonu \(i_v(x)\)'i bir dizi x değeri boyunca tablolaştırır ve grafiğini çizer. Başlangıç x değerinden yola çıkarak, seçtiğiniz sayıda kez sabit bir adım ekler; böylece \(k = 0, 1, \dots, \text{loopCount}-1\) için \(x_k = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\) satırlarını oluşturur ve her biri için \(i_v(x_k)\) değerini hesaplar.
Formülün açıklaması
Değiştirilmiş küresel Bessel fonksiyonu, birinci tür değiştirilmiş (silindirik) Bessel fonksiyonu I üzerinden $$i_{v}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\, I_{v+\frac{1}{2}}(x)$$ şeklinde tanımlanır. Düşük, negatif olmayan tam sayı mertebeleri için pratik hiperbolik kapalı formlar mevcuttur: \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\), \(i_1(x) = \frac{x \cosh x - \sinh x}{x^2}\), \(i_2(x) = \frac{(x^2+3) \sinh x - 3x \cosh x}{x^3}\). Daha yüksek tam sayı mertebeleri ise şu yineleme bağıntısıyla bulunur: $$i_{n+1}(x) = i_{n-1}(x) - \frac{2n+1}{x} i_n(x).$$ Genel reel v değerleri için hesaplayıcı, \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) ifadesini Gama fonksiyonunu kullanarak kuvvet serisinden değerlendirir.
Nasıl kullanılır?
v mertebesini (örneğin 0, 1 ya da 0,5 gibi bir yarım tam sayı), başlangıç x değerini, artış miktarını ve kaç satır istediğinizi girin. Sonuç, x ve \(i_v(x)\) sütunlarından oluşan iki sütunlu bir tablo gösterir; ilk değer en üstte vurgulanır. Düzgün bir eğri elde etmek için 0,1 gibi küçük bir adım kullanın.
Çözümlü örnek
v = 0, initialX = 0, stepX = 0,1 ve loopCount = 51 değerleriyle \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\) fonksiyonu kullanılır. x = 0'daki ilk satır, limit değeri olan 1'i verir. x = 1'de \(\frac{\sinh(1)}{1} = 1{,}17520119\) elde edilir. x = 5'te (son satır) \(\frac{\sinh(5)}{5} = 14{,}84064212\) olur; yani eğri 1'den yaklaşık 14,84'e kadar düzgün biçimde yükselir.
Sıkça sorulan sorular
x = 0 olduğunda ne olur? \(\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\) ifadesi bu noktada tekildir; bu nedenle hesaplayıcı limit değerini döndürür: \(i_0(0) = 1\) ve \(v > 0\) için \(i_v(0) = 0\).
Mertebe yarım tam sayı olabilir mi? Evet. Her reel mertebeye izin verilir; tam sayı olmayan mertebeler \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) serisi aracılığıyla hesaplanır.
x negatif olabilir mi? Tam sayı mertebeli kapalı formlar negatif x için tanımlıdır; ancak genel mertebe kolu \(x \geq 0\) ile sınırlıdır, çünkü negatif bir argümanın esas dal karekökü karmaşık (kompleks) olur.
