Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, boyutsuz bir x reel sayısının altı hiperbolik fonksiyonunu hesaplar: sinüs, kosinüs ve tanjantın hiperbolik karşılıkları olan sinh, cosh ve tanh ile bunların terslerini, yani csch (kosekant), sech (sekant) ve coth (kotanjant). Buradaki x değeri saf bir sayıdır — derece cinsinden bir açı değildir, dolayısıyla dereceden radyana herhangi bir dönüşüm yapılmaz. Hiperbolik fonksiyonlar fizik ve mühendislikte sıkça karşımıza çıkar: asılı bir kablonun aldığı şekil (zincir eğrisi/katener), özel görelilik, sinyal işleme, ısı transferi ve birçok diferansiyel denklemin çözümleri bunlardan yalnızca birkaçıdır.
Nasıl kullanılır?
x için herhangi bir reel değer girin ve sonuçların kaç anlamlı basamakla gösterilmesini istediğinizi seçin. Hesaplayıcı altı fonksiyonun tamamını aynı anda döndürür. \(\cosh(x)\) her zaman en az 1 olduğundan \(\operatorname{sech}(x)\) daima tanımlıdır. Ancak \(\sinh(0) = 0\) ve \(\tanh(0) = 0\) olduğu için \(\operatorname{csch}(0)\) ve \(\coth(0)\) sıfıra bölme içerir ve "tanımsız" olarak gösterilir.
Formülün açıklaması
Her şeyin temelinde üstel fonksiyon yatar. \(e_p = e^x\) ve \(e_n = e^{-x}\) olmak üzere:
$$\sinh x = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$$\(\sinh(x) = (e_p - e_n)/2\) üstel fonksiyonun tek (odd) bileşenini ölçer, \(\cosh(x) = (e_p + e_n)/2\) çift (even) bileşenini ölçer ve \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\) olur. Tersler ise doğrudan bunlardan elde edilir:
$$\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x}, \quad \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}, \quad \coth x = \dfrac{1}{\tanh x}$$Her zaman geçerli olan kullanışlı bir özdeşlik de \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\)'dir; bu, Pisagor özdeşliğinin hiperbolik karşılığıdır.
Çözümlü örnek (x = 1)
\(e = 2{,}718281828\ldots\) ve \(e^{-1} = 0{,}367879441\ldots\) değerleriyle:
$$\sinh(1) = \dfrac{2{,}718281828 - 0{,}367879441}{2} = 1{,}175201194$$$$\cosh(1) = \dfrac{2{,}718281828 + 0{,}367879441}{2} = 1{,}543080635$$$$\tanh(1) = \dfrac{1{,}175201194}{1{,}543080635} = 0{,}761594156$$Tersleri ise \(\operatorname{csch}(1) = 0{,}850918128\), \(\operatorname{sech}(1) = 0{,}648054274\) ve \(\coth(1) = 1{,}313035285\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
x derece cinsinden bir açı mı? Hayır. Hiperbolik fonksiyonlar düz bir reel sayı alır; derece modu ya da herhangi bir dönüşüm söz konusu değildir.
csch(0) ve coth(0) neden tanımsız? Her ikisi de \(\sinh(0) = 0\)'a bölme içerir ve bu tanımsızdır. Hesaplayıcı bu durumda sonsuz döndürmek yerine bunları "tanımsız" olarak işaretler.
Hangi fonksiyonlar çift, hangileri tek? sinh, tanh, csch ve coth tek fonksiyonlardır (\(f(-x) = -f(x)\)); cosh ve sech ise çift fonksiyonlardır (\(f(-x) = f(x)\)).
