À quoi sert cette calculatrice
Cet outil évalue les six fonctions hyperboliques d'un nombre réel et sans dimension x : les analogues du sinus, du cosinus et de la tangente que sont sinh, cosh et tanh, ainsi que leurs inverses csch (cosécante), sech (sécante) et coth (cotangente). L'argument \(x\) est un nombre pur : ce n'est pas un angle exprimé en degrés, aucune conversion degrés-radians n'est donc effectuée. Les fonctions hyperboliques sont omniprésentes en physique et en ingénierie : forme d'un câble suspendu (la chaînette), relativité restreinte, traitement du signal, transfert de chaleur ou encore résolution de nombreuses équations différentielles.
Mode d'emploi
Saisissez n'importe quelle valeur réelle pour \(x\) et choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher. La calculatrice renvoie les six fonctions d'un seul coup. Comme \(\cosh(x)\) vaut toujours au moins 1, \(\operatorname{sech}(x)\) est toujours défini. En revanche, \(\sinh(0) = 0\) et \(\tanh(0) = 0\) : \(\operatorname{csch}(0)\) et \(\coth(0)\) impliquent une division par zéro et sont affichés comme « indéfinis ».
La formule expliquée
Tout repose sur la fonction exponentielle. En posant \(ep = e^x\) et \(en = e^{-x}\) :
$$\sinh x = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$$\(\sinh(x) = (ep - en)/2\) mesure la partie impaire de l'exponentielle, \(\cosh(x) = (ep + en)/2\) en mesure la partie paire, et \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\). Les inverses en découlent directement :
$$\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x}, \quad \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}, \quad \coth x = \dfrac{1}{\tanh x}$$Une identité toujours vérifiée est \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\), l'équivalent hyperbolique de l'identité de Pythagore.
Exemple détaillé (x = 1)
Avec \(e = 2{,}718281828\ldots\) et \(e^{-1} = 0{,}367879441\ldots\) :
$$\sinh(1) = \dfrac{2{,}718281828 - 0{,}367879441}{2} = 1{,}175201194$$$$\cosh(1) = \dfrac{2{,}718281828 + 0{,}367879441}{2} = 1{,}543080635$$$$\tanh(1) = \dfrac{1{,}175201194}{1{,}543080635} = 0{,}761594156$$Les inverses donnent \(\operatorname{csch}(1) = 0{,}850918128\), \(\operatorname{sech}(1) = 0{,}648054274\) et \(\coth(1) = 1{,}313035285\).
FAQ
x est-il un angle en degrés ? Non. Les fonctions hyperboliques prennent un simple nombre réel ; il n'y a ni mode degrés ni conversion.
Pourquoi csch(0) et coth(0) sont-ils indéfinis ? Tous deux divisent par \(\sinh(0) = 0\), ce qui n'est pas défini. La calculatrice les signale au lieu de renvoyer l'infini.
Quelles fonctions sont paires ou impaires ? sinh, tanh, csch et coth sont impaires (\(f(-x) = -f(x)\)) ; cosh et sech sont paires (\(f(-x) = f(x)\)).
