Calculatrice des fonctions hyperboliques réciproques

Entrez le calcul

Variable x

Formule

Show calculation steps (1)

1. Inverse hyperbolic tangent and reciprocals

   

   atanh for |x|<1, plus the reciprocal-based csch, sech and coth inverses.

Résultats

Inverse Hyperbolic Sine, sinh⁻¹(x)

1,44363547517881

valeur réelle principale

sinh⁻¹(x)	1,44363547517881
cosh⁻¹(x)	1.3169578969248166
tanh⁻¹(x)	no real value
csch⁻¹(x)	0.48121182505960347
sech⁻¹(x)	no real value
coth⁻¹(x)	0.5493061443340549

Ce que fait cette calculatrice

Cet outil évalue d'un seul coup les six fonctions hyperboliques réciproques d'un même nombre réel x : l'argument sinus hyperbolique \(\sinh^{-1}(x)\), l'argument cosinus hyperbolique \(\cosh^{-1}(x)\), l'argument tangente hyperbolique \(\tanh^{-1}(x)\), ainsi que l'argument cosécante \(\operatorname{csch}^{-1}(x)\), l'argument sécante \(\operatorname{sech}^{-1}(x)\) et l'argument cotangente \(\coth^{-1}(x)\). Ces fonctions sont les réciproques des fonctions hyperboliques et reviennent sans cesse en analyse, dans les tables d'intégrales, en relativité restreinte (rapidité), pour les courbes de chaînette et en ingénierie.

La courbe arcsinh est définie pour tout x réel et passe par l'origine.

Comment l'utiliser

Saisissez n'importe quel nombre réel dans le champ Variable x, puis validez. L'encadré principal affiche l'argument sinus hyperbolique, toujours défini, et le tableau dresse la liste des six résultats avec une grande précision. Lorsque x sort du domaine réel d'une fonction, la calculatrice indique « aucune valeur réelle » plutôt que de renvoyer un nombre trompeur.

Les formules

Toute fonction hyperbolique réciproque se ramène, sur sa branche réelle principale, à des logarithmes népériens et des racines carrées :

$$\sinh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)$$ pour tout réel x. $$\cosh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)$$ pour \(x \geq 1\). $$\tanh^{-1}(x) = \tfrac12\cdot\ln\frac{1+x}{1-x}$$ pour \(|x| < 1\). Les fonctions inverses (au sens du réciproque \(1/x\)) alimentent les fonctions de base : \(\operatorname{csch}^{-1}(x) = \sinh^{-1}(1/x)\) pour \(x \neq 0\) ; \(\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}(1/x)\) pour \(0 < x \leq 1\) ; \(\coth^{-1}(x) = \tanh^{-1}(1/x)\) pour \(|x| > 1\).

Chaque fonction hyperbolique inverse possède son propre domaine de définition.

Exemple résolu (x = 2)

$$\sinh^{-1}(2) = \ln\!\left(2 + \sqrt{5}\right) = \ln(4{,}2360679...) \approx 1{,}44363548$$ $$\cosh^{-1}(2) = \ln\!\left(2 + \sqrt{3}\right) \approx 1{,}31695790$$ $$\operatorname{csch}^{-1}(2) = \sinh^{-1}(0{,}5) = \ln\!\left(0{,}5 + \sqrt{1{,}25}\right) \approx 0{,}48121183$$ $$\coth^{-1}(2) = \tanh^{-1}(0{,}5) = \tfrac12\cdot\ln(3) \approx 0{,}54930614$$ Comme \(|2| > 1\), \(\tanh^{-1}(2)\) n'a aucune valeur réelle, et comme \(2 > 1\), \(\operatorname{sech}^{-1}(2)\) n'en a pas non plus.

FAQ

Pourquoi certains résultats affichent-ils « aucune valeur réelle » ? Chaque fonction possède un domaine réel restreint (par exemple, \(\cosh^{-1}\) exige \(x \geq 1\)). En dehors de cet intervalle, la valeur exacte est complexe ; cette calculatrice, qui ne travaille que sur les réels, le signale simplement.

Que se passe-t-il en x = 0 ? Les fonctions inverses \(\operatorname{csch}^{-1}\) et \(\coth^{-1}\) font intervenir \(1/x\) : \(x = 0\) n'est donc pas défini pour elles.

Est-ce identique aux identités logarithmiques ? Oui — la calculatrice s'appuie sur les formes logarithmiques exactes ci-dessus, mathématiquement identiques aux fonctions intégrées standard asinh/acosh/atanh.