इन्वर्स हाइपरबॉलिक फ़ंक्शन कैलकुलेटर

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चर x

सूत्र (फॉर्मूला)

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1. Inverse hyperbolic tangent and reciprocals

   

   atanh for |x|<1, plus the reciprocal-based csch, sech and coth inverses.

परिणाम

Inverse Hyperbolic Sine, sinh⁻¹(x)

1.44363547517881

मुख्य वास्तविक मान

sinh⁻¹(x)	1.44363547517881
cosh⁻¹(x)	1.3169578969248166
tanh⁻¹(x)	no real value
csch⁻¹(x)	0.48121182505960347
sech⁻¹(x)	no real value
coth⁻¹(x)	0.5493061443340549

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी एक वास्तविक संख्या x के छहों इन्वर्स हाइपरबॉलिक फ़ंक्शन एक ही बार में निकाल देता है: इन्वर्स हाइपरबॉलिक साइन \(\sinh^{-1}(x)\), कोसाइन \(\cosh^{-1}(x)\), टैन्जेंट \(\tanh^{-1}(x)\), कोसेकेंट \(\operatorname{csch}^{-1}(x)\), सेकेंट \(\operatorname{sech}^{-1}(x)\) और कोटैन्जेंट \(\coth^{-1}(x)\)। ये फ़ंक्शन हाइपरबॉलिक फ़ंक्शनों के व्युत्क्रम होते हैं और कैलकुलस, इंटीग्रेशन टेबल, विशेष सापेक्षता (रैपिडिटी), कैटेनरी वक्र और इंजीनियरिंग में बार-बार सामने आते हैं।

arcsinh वक्र सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित है और मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

इसका उपयोग कैसे करें

Variable x वाले फ़ील्ड में कोई भी वास्तविक संख्या दर्ज करें और सबमिट करें। ऊपर के हीरो बॉक्स में इन्वर्स हाइपरबॉलिक साइन दिखता है, जो हर संख्या के लिए परिभाषित रहता है, और टेबल में छहों परिणाम उच्च परिशुद्धता के साथ सूचीबद्ध होते हैं। जहाँ x किसी फ़ंक्शन के वास्तविक डोमेन से बाहर चला जाता है, वहाँ कैलकुलेटर कोई भ्रामक संख्या दिखाने के बजाय "no real value" बता देता है।

सूत्र

अपनी मुख्य वास्तविक शाखा (principal real branch) पर हर इन्वर्स हाइपरबॉलिक फ़ंक्शन प्राकृतिक लघुगणक और वर्गमूल के रूप में सरल हो जाता है:

हर वास्तविक x के लिए

$$\sinh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)$$

x ≥ 1 के लिए

$$\cosh^{-1}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)$$

|x| < 1 के लिए

$$\tanh^{-1}(x) = \tfrac12\cdot\ln\frac{1+x}{1-x}$$

व्युत्क्रमी (reciprocal) फ़ंक्शन 1/x को मुख्य फ़ंक्शनों में डाल देते हैं: x ≠ 0 के लिए \(\operatorname{csch}^{-1}(x) = \sinh^{-1}\!\left(\tfrac1x\right)\); 0 < x ≤ 1 के लिए \(\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}\!\left(\tfrac1x\right)\); और |x| > 1 के लिए \(\coth^{-1}(x) = \tanh^{-1}\!\left(\tfrac1x\right)\)।

हर व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलन का अपना मान्य इनपुट प्रांत होता है।

हल किया हुआ उदाहरण (x = 2)

$$\sinh^{-1}(2) = \ln\!\left(2 + \sqrt5\right) = \ln(4.2360679\ldots) \approx 1.44363548$$$$\cosh^{-1}(2) = \ln\!\left(2 + \sqrt3\right) \approx 1.31695790$$$$\operatorname{csch}^{-1}(2) = \sinh^{-1}(0.5) = \ln\!\left(0.5 + \sqrt{1.25}\right) \approx 0.48121183$$$$\coth^{-1}(2) = \tanh^{-1}(0.5) = \tfrac12\cdot\ln(3) \approx 0.54930614$$चूँकि \(|2| > 1\) है, इसलिए \(\tanh^{-1}(2)\) का कोई वास्तविक मान नहीं है, और चूँकि \(2 > 1\) है, इसलिए \(\operatorname{sech}^{-1}(2)\) का भी कोई वास्तविक मान नहीं है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

कुछ परिणामों में "no real value" क्यों आता है? हर फ़ंक्शन का एक सीमित वास्तविक डोमेन होता है (जैसे \(\cosh^{-1}\) के लिए \(x \geq 1\) ज़रूरी है)। उस सीमा के बाहर असली मान सम्मिश्र (complex) हो जाता है; यह वास्तविक-मान वाला कैलकुलेटर बस इसका संकेत दे देता है।

x = 0 पर क्या होता है? व्युत्क्रमी फ़ंक्शन \(\operatorname{csch}^{-1}\) और \(\coth^{-1}\) को 1/x की ज़रूरत होती है, इसलिए इनके लिए x = 0 अपरिभाषित है।

क्या ये प्राकृतिक लघुगणक वाली पहचानों जैसी ही हैं? हाँ — कैलकुलेटर ऊपर दिए गए सटीक लघुगणकीय रूपों का उपयोग करता है, जो मानक asinh/acosh/atanh बिल्ट-इन फ़ंक्शनों के गणितीय रूप से बिल्कुल समान हैं।