反雙曲函數計算機

輸入計算

變數 x

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Inverse hyperbolic tangent and reciprocals

   

   atanh for |x|<1, plus the reciprocal-based csch, sech and coth inverses.

結果

Inverse Hyperbolic Sine, sinh⁻¹(x)

1.44363547517881

主要實數值

sinh⁻¹(x)	1.44363547517881
cosh⁻¹(x)	1.3169578969248166
tanh⁻¹(x)	no real value
csch⁻¹(x)	0.48121182505960347
sech⁻¹(x)	no real value
coth⁻¹(x)	0.5493061443340549

這個計算機的功能

本工具能一次計算單一實數 x 的全部六種反雙曲函數：反雙曲正弦 sinh⁻¹(x)、反雙曲餘弦 cosh⁻¹(x)、反雙曲正切 tanh⁻¹(x)、反雙曲餘割 csch⁻¹(x)、反雙曲正割 sech⁻¹(x) 與反雙曲餘切 coth⁻¹(x)。這些函數是雙曲函數的反函數，在微積分、積分表、狹義相對論（快度 rapidity）、懸鏈線與各類工程問題中經常出現。

arcsinh 曲線對所有實數 x 都有定義，並通過原點。

操作方式

在「變數 x」欄位中輸入任意實數後送出。上方主要結果框會顯示恆有定義的反雙曲正弦，下方表格則以高精度列出全部六項結果。當 x 落在某函數的實數定義域之外時，計算機會直接標示「無實數值」，而不是給出誤導性的數字。

公式說明

每一個反雙曲函數在其主要實數分支上，都可化簡為自然對數與平方根：

sinh⁻¹(x) = ln(x + √(x²+1))，對所有實數 x 成立。cosh⁻¹(x) = ln(x + √(x²−1))，需 x ≥ 1。tanh⁻¹(x) = ½·ln((1+x)/(1−x))，需 |x| < 1。倒數類函數則是把 1/x 代入對應的主函數：csch⁻¹(x) = sinh⁻¹(1/x)，需 x ≠ 0；sech⁻¹(x) = cosh⁻¹(1/x)，需 0 < x ≤ 1；coth⁻¹(x) = tanh⁻¹(1/x)，需 |x| > 1。

每個反雙曲函數都有各自的有效定義域。

計算範例（x = 2）

sinh⁻¹(2) = ln(2 + √5) = ln(4.2360679...) ≈ 1.44363548。cosh⁻¹(2) = ln(2 + √3) ≈ 1.31695790。csch⁻¹(2) = sinh⁻¹(0.5) = ln(0.5 + √1.25) ≈ 0.48121183。coth⁻¹(2) = tanh⁻¹(0.5) = ½·ln(3) ≈ 0.54930614。由於 |2| > 1，tanh⁻¹(2) 沒有實數值；又因為 2 > 1，sech⁻¹(2) 同樣沒有實數值。

常見問題

為什麼有些結果顯示「無實數值」？每個函數都有受限的實數定義域（例如 cosh⁻¹ 需 x ≥ 1）。超出這個範圍時，真正的值會是複數；這個實數計算機只會直接標示出來。

x = 0 時會怎樣？倒數類函數 csch⁻¹ 與 coth⁻¹ 需要用到 1/x，因此在 x = 0 時對它們而言沒有定義。

這些和自然對數恆等式是一樣的嗎？是的——計算機使用上述精確的對數形式，與標準的 asinh／acosh／atanh 內建函數在數學上完全等價。