Что делает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет шесть гиперболических функций действительного безразмерного числа x: аналоги синуса, косинуса и тангенса — sinh, cosh и tanh, — а также обратные к ним функции csch (косеканс), sech (секанс) и coth (котангенс). Аргумент x — это чистое число, а не угол в градусах, поэтому перевод из градусов в радианы не выполняется. Гиперболические функции встречаются повсюду в физике и технике: форма провисающего троса (цепная линия), специальная теория относительности, обработка сигналов, теплопередача и решения многих дифференциальных уравнений.
Как пользоваться
Введите любое действительное значение x и выберите, сколько значащих цифр выводить. Калькулятор сразу выдаёт все шесть функций. Поскольку \(\cosh(x)\) всегда не меньше 1, функция \(\operatorname{sech}(x)\) определена при любом x. Однако \(\sinh(0) = 0\) и \(\tanh(0) = 0\), поэтому \(\operatorname{csch}(0)\) и \(\coth(0)\) приводят к делению на ноль и обозначаются как «не определено».
Разбор формулы
Всё строится на основе экспоненциальной функции. Обозначим \(ep = e^x\) и \(en = e^{-x}\): тогда $$\sinh(x) = \frac{ep - en}{2}$$ — нечётная часть экспоненты, $$\cosh(x) = \frac{ep + en}{2}$$ — её чётная часть, а $$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$$ Обратные функции получаются напрямую: \(\operatorname{csch} = 1/\sinh\), \(\operatorname{sech} = 1/\cosh\) и \(\coth = 1/\tanh\). Полезное тождество, верное всегда: $$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$ — гиперболический аналог теоремы Пифагора.
Разбор примера (x = 1)
Учитывая, что \(e = 2{,}718281828\ldots\) и \(e^{-1} = 0{,}367879441\ldots\): $$\sinh(1) = \frac{2{,}718281828 - 0{,}367879441}{2} = 1{,}175201194$$ $$\cosh(1) = \frac{2{,}718281828 + 0{,}367879441}{2} = 1{,}543080635$$ $$\tanh(1) = \frac{1{,}175201194}{1{,}543080635} = 0{,}761594156$$ Обратные функции дают \(\operatorname{csch}(1) = 0{,}850918128\), \(\operatorname{sech}(1) = 0{,}648054274\) и \(\coth(1) = 1{,}313035285\).
Частые вопросы
Является ли x углом в градусах? Нет. Гиперболические функции принимают обычное действительное число; режима градусов и какого-либо перевода здесь нет.
Почему csch(0) и coth(0) не определены? Обе функции делятся на \(\sinh(0) = 0\), что не определено. Вместо бесконечности калькулятор помечает такие случаи как неопределённые.
Какие функции чётные, а какие нечётные? sinh, tanh, csch и coth — нечётные (\(f(-x) = -f(x)\)); cosh и sech — чётные (\(f(-x) = f(x)\)).
