이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 단위가 없는 실수 x에 대해 여섯 가지 쌍곡선 함수를 계산합니다. 사인·코사인·탄젠트에 대응하는 sinh, cosh, tanh와 그 역수인 csch(코시컨트), sech(시컨트), coth(코탄젠트)가 모두 포함됩니다. 여기서 \(x\)는 순수한 수치일 뿐, 도(°) 단위의 각도가 아닙니다. 따라서 도-라디안 변환은 적용되지 않습니다. 쌍곡선 함수는 물리학과 공학 전반에 등장합니다. 늘어진 케이블의 형태(현수선), 특수 상대성 이론, 신호 처리, 열전달, 그리고 수많은 미분방정식의 해에서 활용됩니다.
사용 방법
x에 임의의 실수를 입력하고 표시할 유효숫자 자릿수를 선택하세요. 계산기는 여섯 함수의 값을 한 번에 보여 줍니다. \(\cosh(x)\)는 항상 1 이상이므로 \(\operatorname{sech}(x)\)는 언제나 정의됩니다. 하지만 \(\sinh(0) = 0\), \(\tanh(0) = 0\)이기 때문에 \(\operatorname{csch}(0)\)과 \(\coth(0)\)은 0으로 나누는 형태가 되어 "정의되지 않음"으로 표시됩니다.
공식 설명
모든 쌍곡선 함수는 지수함수에서 출발합니다. \(e_p = e^x\), \(e_n = e^{-x}\)라고 하면, \(\sinh(x) = (e_p - e_n)/2\)는 지수함수의 홀수 부분을, \(\cosh(x) = (e_p + e_n)/2\)는 짝수 부분을 나타냅니다.
$$\sinh x = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$$그리고 \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\)입니다. 역수들도 곧바로 따라옵니다.
$$\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x}, \quad \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}, \quad \coth x = \dfrac{1}{\tanh x}$$언제나 성립하는 유용한 항등식으로 \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\)이 있는데, 이는 피타고라스 항등식의 쌍곡선 버전이라 할 수 있습니다.
풀이 예제 (x = 1)
\(e = 2.718281828\ldots\), \(e^{-1} = 0.367879441\ldots\)일 때:
$$\sinh(1) = \dfrac{2.718281828 - 0.367879441}{2} = 1.175201194$$$$\cosh(1) = \dfrac{2.718281828 + 0.367879441}{2} = 1.543080635$$$$\tanh(1) = \dfrac{1.175201194}{1.543080635} = 0.761594156$$역수를 구하면 \(\operatorname{csch}(1) = 0.850918128\), \(\operatorname{sech}(1) = 0.648054274\), \(\coth(1) = 1.313035285\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
x는 도(°) 단위의 각도인가요? 아닙니다. 쌍곡선 함수는 일반적인 실수를 인수로 받습니다. 도 모드나 단위 변환은 없습니다.
csch(0)과 coth(0)은 왜 정의되지 않나요? 두 함수 모두 \(\sinh(0) = 0\)으로 나누는 형태인데, 이는 정의되지 않습니다. 계산기는 무한대를 반환하는 대신 이 점을 별도로 표시합니다.
어떤 함수가 우함수이고 어떤 함수가 기함수인가요? sinh, tanh, csch, coth는 기함수(\(f(-x) = -f(x)\))이고, cosh와 sech는 우함수(\(f(-x) = f(x)\))입니다.
