Üstel integral En(x) nedir?
n. dereceden üstel integral, En(x) şeklinde gösterilir ve e-xt/tn ifadesinin t = 1'den sonsuza kadar alınan belirli integralidir. Fizik ve mühendislikte sıkça karşımıza çıkar: ışınımsal transfer, nötron taşınımı, ısı iletimi ve anten kuramı gibi alanların hepsi bu fonksiyonlardan yararlanır. Sabit bir tam sayı n derecesi için, x'in büyümesiyle sıfıra yaklaşan, düzgün, pozitif ve monoton azalan bir fonksiyondur. Bu hesaplayıcı, (x, En(x)) çiftlerinden oluşan eksiksiz bir tablo ile bir çizgi grafiği oluşturur; böylece eğriyi tek bakışta inceleyebilirsiniz.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Dört sayı girin: n derecesi (0, 1, 2, 3 gibi negatif olmayan bir tam sayı), tablonun başladığı x'in başlangıç değeri, her yeni satırda x'e eklenen artış (adım) ve tekrar sayısı (kaç satır üretileceği). Araç, \(i = 0\)'dan rows-1'e kadar $$x_i = \text{başlangıçX} + i \cdot \text{adım}$$ değerlerini hesaplar ve her noktada \(E_n(x_i)\) değerini bulur. Varsayılan ayarlarla (n = 2, başlangıç 0, adım 0,02, 101 satır) x değeri 0,02'lik adımlarla 0,00'dan 2,00'a kadar ilerler.
Formülün açıklaması
En(x), klasik sayısal yöntemle hesaplanır: $$E_{\text{n}}(x_i) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x_i\,t}}{t^{\,\text{n}}}\, dt, \qquad x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Step}$$ x > 1 için Lentz sürekli kesir açılımı hızla yakınsarken, 0 < x ≤ 1 için bir kuvvet serisi açılımı kullanılır. Özel değerler doğrudan ele alınır: \(E_0(x) = e^{-x}/x\) ve n ≥ 2 için \(E_n(0) = 1/(n-1)\). E1(0) durumu sonsuza ıraksar; bu nedenle tabloda bir sayı olarak yazdırılmak yerine işaretlenir.
Çözümlü örnek
n = 2 ve x = 1 alalım. \(E_2(x) = e^{-x} - x \cdot E_1(x)\) özdeşliğini ve \(E_1(1) \approx 0{,}2193839\) değerini kullanarak $$E_2(1) = 0{,}3678794 - 0{,}2193839 = 0{,}1484955$$ buluruz. Hesaplayıcı da aynı değeri verir. x = 0 için \(E_2(0) = 1/(2-1) = 1\) ve x = 2 için \(E_2(2) \approx 0{,}0375343\) olur; eğrinin açıkça azaldığı görülür.
Sıkça sorulan sorular
n bir kesir olabilir mi? Hayır. Bu araç yalnızca negatif olmayan tam sayı dereceleri için tanımlıdır; tam sayı olmayan n değerleri tanım alanının dışındadır.
Bir satırda neden "ıraksar" yazıyor? E1(0) matematiksel olarak sonsuzdur (integral o noktada yakınsamaz); bu yüzden ilgili satır yanıltıcı bir sayı göstermek yerine ıraksak olarak işaretlenir.
Peki negatif x değerleri? n ≥ 1 için integral, x < 0 durumunda genellikle ıraksar; bu nedenle hesaplayıcı yalnızca x ≥ 0 için sonlu değerler döndürür.
