什麼是指數積分 En(x)？
階數為 n 的指數積分，寫作 \(E_{\text{n}}(x)\)，定義為 \(e^{-xt}/t^{\text{n}}\) 從 \(t = 1\) 積分到無窮大的定積分。它廣泛出現在物理與工程領域：輻射傳輸、中子輸運、熱傳導以及天線理論都會用到這類函數。對於固定的整數階數 \(n\) 而言，它是一個平滑、恆正且隨 \(x\) 遞減的函數，當 \(x\) 越來越大時會趨近於零。這個計算器會建立完整的 \((x, E_{\text{n}}(x))\) 數值表並繪製折線圖，讓你一眼就能掌握整條曲線的走勢。
如何使用這個計算器
請輸入四個數值：階數 n（一個非負整數，例如 0、1、2、3）、表格起始的 x 初始值、每一列依序加到 x 上的 增量（步長），以及 重複次數（列數）（要產生幾列）。工具會以 $$x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Step}, \quad i = 0,\dots,\text{Rows}-1$$ 計算每個 x 值，並在各點求出 \(E_{\text{n}}(x_i)\)。使用預設值（n = 2、起始 0、步長 0.02、101 列）時，x 會從 0.00 以 0.02 為間隔遞增到 2.00。
公式說明
\(E_{\text{n}}(x)\) 採用經典的數值演算法求值：當 \(x > 1\) 時，使用 Lentz 連分數展開式，收斂速度很快；當 \(0 < x \le 1\) 時，則改用冪級數展開。整個積分的定義為 $$E_{\text{n}}(x_i) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x_i\,t}}{t^{\,\text{n}}}\, dt$$ 特殊值會直接處理：\(E_0(x) = e^{-x}/x\)，而當 \(n \ge 2\) 時 \(E_{\text{n}}(0) = 1/(n-1)\)。至於 \(E_1(0)\) 會發散至無窮大，因此表格中會將該列標示為發散，而不會印出一個誤導性的數字。
實例演算
取 n = 2、x = 1。利用恆等式 \(E_2(x) = e^{-x} - x \cdot E_1(x)\)，並代入 \(E_1(1) \approx 0.2193839\)，可得 $$E_2(1) = 0.3678794 - 0.2193839 = 0.1484955$$ 計算器也會傳回相同的結果。當 \(x = 0\) 時，\(E_2(0) = 1/(2-1) = 1\)；當 \(x = 2\) 時，\(E_2(2) \approx 0.0375343\)——可以清楚看出曲線確實在遞減。
常見問題
n 可以是分數嗎？不行。本工具只對非負整數階數有定義，非整數的 \(n\) 不在其適用範圍內。
為什麼某一列會顯示「發散」？\(E_1(0)\) 在數學上為無窮大（積分在該點不收斂），因此該列會被標示為發散，而非顯示一個誤導性的數值。
那負的 x 呢？當 \(n \ge 1\) 時，積分在 \(x < 0\) 時通常會發散，因此計算器只會針對 \(x \ge 0\) 傳回有限值。
