dn(u, k) nedir?
"Delta amplitüdü" olarak da bilinen dn(u, k) Jacobi eliptik fonksiyonu, sn ve cn ile birlikte üç temel Jacobi eliptik fonksiyonundan biridir. Bu fonksiyonlar, sıradan trigonometrik fonksiyonların bir genellemesidir ve fizik ile mühendislikte sıkça karşımıza çıkar: sarkacın tam salınım periyodu, doğrusal olmayan dalga denklemlerinin soliton çözümleri, katı bir cismin hareketi (Euler denklemleri) ve eliptik filtre tasarımı bunlardan birkaçıdır. Bu hesaplama aracı, herhangi bir gerçel u argümanı ve -1 ile 1 arasındaki k modülü için dn değerini hesaplar.
Nasıl kullanılır?
u argümanını (herhangi bir gerçel sayı) ve \(-1 \le k \le 1\) koşulunu sağlayan k modülünü girin. dn yalnızca \(k^2\) değerine bağlı olduğundan, k'nın işareti sonucu etkilemez. Hesapla düğmesine basarak dn(u, k) sonucunu elde edersiniz. Araç, arka planda \(m = k^2\) parametresini kullanır.
Formülün açıklaması
\(\phi = \operatorname{am}(u, m)\) amplitüdü, birinci tür tamamlanmamış eliptik integral \(F(\phi \mid m) = u\) aracılığıyla örtük olarak tanımlanır. Buradan \(\operatorname{sn} = \sin(\phi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\phi)\) ve $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\phi}$$ elde edilir. \(\operatorname{am}(u, m)\) değerini, azalan Landen / aritmetik-geometrik ortalama (AGM) dönüşümüyle sayısal olarak hesaplıyoruz. Bu yöntem (klasik Numerical Recipes "sncndn" rutini) karesel hızla yakınsar ve tüm tanım kümesinde yüksek doğruluk sağlar.
Örnek çözüm
\(u = 4\) ve \(k = 0{,}7\) alalım; bu durumda \(m = 0{,}49\) olur. \(\operatorname{am}(4,\ 0{,}49)\) amplitüdü \(\approx 3{,}4179\) rad olup buradan \(\operatorname{sn}(4,\ 0{,}7) \approx -0{,}27156\) bulunur. Sonra $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49 \times (-0{,}27156)^{2}} = \sqrt{1 - 0{,}036131} = \sqrt{0{,}963869} \approx \mathbf{0{,}981768}$$ elde edilir.
Sıkça sorulan sorular
k = 0 olduğunda ne olur? Modül terimi sıfırlandığı ve \(\operatorname{am}(u, 0) = u\) olduğu için her u değeri için \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) olur.
Peki ya k = 1? Bu durumda $$\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \frac{1}{\cosh(u)}$$ olur; örneğin \(\operatorname{dn}(4, 1) \approx 0{,}036644\).
dn'in değer aralığı nedir? \(|k| < 1\) için dn her zaman pozitiftir ve en küçük değeri olan \(k' = \sqrt{1 - k^{2}}\) ile \(u = 0 \pmod{2K}\) noktasındaki en büyük değeri 1 arasında salınır; burada K, birinci tür tam eliptik integraldir.
