Jacobi nd fonksiyonu nedir?
Jacobi eliptik fonksiyonları sn, cn ve dn, bildiğimiz trigonometrik fonksiyonların bir genellemesidir ve birinci tür tam olmayan eliptik integralin ters çevrilmesiyle ortaya çıkar. nd(u, k) fonksiyonu ise basitçe delta-amplitüd fonksiyonunun tersidir: \(\operatorname{nd}(u,k) = 1 / \operatorname{dn}(u,k)\). Bu fonksiyon, gerçek bir u argümanına ve eliptik modül k'ya bağlıdır (dikkat: bu modüldür; \(m = k^{2}\) parametresi ya da modüler açı değildir).
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
u argümanını (herhangi bir gerçek sayı) ve k modülünü (genellikle \(0 \le k \le 1\) aralığında) girin. Araç, nd(u, k) değerini yaklaşık on anlamlı basamağa kadar verir; bununla birlikte ara değerler olan dn(u, k) ve sn(u, k) sonuçlarını da gösterir.
Formülün açıklaması
\(m = k^{2}\) alındığında amplitüd \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) olur ve $$\operatorname{dn}(u,k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}$$ şeklinde yazılır. sn değerini, aritmetik-geometrik ortalama (AGM) ve azalan bir Landen dönüşümü kullanarak hesaplıyoruz: a, b, c dizilerini \(a_{0}=1\), \(b_{0}=\sqrt{1-m}\), \(c_{0}=k\) başlangıç değerleriyle kurun, c ihmal edilebilir düzeye gelene kadar AGM yinelemesini sürdürün, ardından \(\phi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) açısını adım adım geriye doğru indirin. Son olarak \(\operatorname{nd} = 1 / \operatorname{dn}\) elde edilir.
Çözümlü örnek
\(u = 0.5\) ve \(k = 0.5\) (\(m = 0.25\)) için: \(\operatorname{sn} \approx 0.479262\) olduğundan $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25\cdot 0.479262^{2}} \approx 0.970864$$ ve \(\operatorname{nd} = 1 / 0.970864 \approx 1.0300\) bulunur.
Sıkça Sorulan Sorular
k = 0 olduğunda ne olur? Her u için \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\)'dir, dolayısıyla nd(u, 0) tam olarak 1'e eşittir.
Peki k = 1 için durum nedir? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = 1/\cosh(u)\) olur, bu nedenle \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\) sonucunu verir.
nd hiç tanımsız olur mu? \(0 \le k < 1\) aralığında dn, alttan \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\) değeriyle sınırlıdır; bu yüzden nd her zaman sonludur. Yalnızca k = 1 durumunda dn sıfıra yaklaşır (\(u \to \pm\infty\) iken) ve bu noktada nd sınırsızca büyür.
