Jacobi nd फ़ंक्शन क्या है?
Jacobi इलिप्टिक फ़ंक्शन sn, cn और dn साधारण त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का एक विस्तार हैं और ये पहली श्रेणी के अपूर्ण इलिप्टिक समाकलन (incomplete elliptic integral) के व्युत्क्रमण से प्राप्त होते हैं। फ़ंक्शन nd(u, k) असल में डेल्टा-एम्प्लीट्यूड फ़ंक्शन का व्युत्क्रम ही है: \(\operatorname{nd}(u,k) = 1 / \operatorname{dn}(u,k)\)। यह एक वास्तविक चर u और इलिप्टिक मापांक k पर निर्भर करता है (ध्यान दें कि यह मापांक है, पैरामीटर \(m = k^{2}\) नहीं, और न ही मॉड्यूलर कोण)।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
चर u (कोई भी वास्तविक संख्या) और मापांक k (आमतौर पर \(0 \le k \le 1\)) दर्ज करें। कैलकुलेटर nd(u, k) का मान लगभग दस सार्थक अंकों तक देता है, साथ ही बीच के मान dn(u, k) और sn(u, k) भी दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(m = k^{2}\), तब एम्प्लीट्यूड \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) होता है और $$\operatorname{dn}(u,k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}$$ हम sn की गणना समांतर-गुणोत्तर माध्य (AGM) और एक अवरोही Landen ट्रांसफ़ॉर्मेशन की मदद से करते हैं: अनुक्रम a, b, c बनाएँ जिनमें \(a_{0}=1\), \(b_{0}=\sqrt{1-m}\), \(c_{0}=k\) हो, AGM को तब तक दोहराएँ जब तक c नगण्य न हो जाए, फिर कोण \(\phi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) को वापस नीचे की ओर लाएँ। अंत में \(\operatorname{nd} = 1 / \operatorname{dn}\)।
हल किया हुआ उदाहरण
\(u = 0.5\) और \(k = 0.5\) (\(m = 0.25\)) के लिए: \(\operatorname{sn} \approx 0.479262\), इसलिए $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25\cdot 0.479262^{2}} \approx 0.970864$$ और \(\operatorname{nd} = 1 / 0.970864 \approx 1.0300\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
k = 0 पर क्या होता है? हर u के लिए \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) होता है, इसलिए \(\operatorname{nd}(u, 0) = 1\) ठीक-ठीक होता है।
k = 1 पर क्या होगा? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = 1/\cosh(u)\) होता है, इसलिए \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\)।
क्या nd कभी अपरिभाषित होता है? \(0 \le k < 1\) के लिए dn का निचला सीमांत \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\) होता है, इसलिए nd हमेशा परिमित रहता है। केवल \(k = 1\) पर ही dn शून्य की ओर बढ़ता है (जब \(u \to \pm\infty\)), जहाँ nd असीमित रूप से बढ़ता जाता है।
