야코비 nd 함수란?
야코비 타원함수 sn, cn, dn은 일반적인 삼각함수를 확장한 개념으로, 제1종 불완전 타원적분을 역으로 풀면서 정의됩니다. 그중 nd(u, k)는 델타 진폭 함수의 역수, 즉 \(\operatorname{nd}(u,k) = 1/\operatorname{dn}(u,k)\)로 간단히 정의됩니다. 이 함수는 실수 인수 u와 타원 모듈러스 k에 따라 달라집니다. 여기서 k는 모듈러스이며, 파라미터 \(m = k^{2}\)이나 모듈러 각(modular angle)과는 다른 값이라는 점에 유의하세요.
계산기 사용 방법
인수 u(임의의 실수)와 모듈러스 k(보통 0 ≤ k ≤ 1)를 입력하세요. 계산기는 nd(u, k) 값을 약 10자리 유효숫자까지 계산해 주며, 중간 결과인 dn(u, k)와 sn(u, k) 값도 함께 보여줍니다.
공식 풀이
m = k2로 두면, 진폭은 \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\)이고 $$\operatorname{dn}(u,k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}$$입니다. 본 계산기는 산술-기하 평균(AGM)과 하강 란덴 변환을 이용해 sn을 구합니다. 먼저 \(a_{0}=1\), \(b_{0}=\sqrt{1-m}\), \(c_{0}=k\)로 수열 a, b, c를 만들고, c가 무시할 수 있을 만큼 작아질 때까지 AGM을 반복합니다. 그런 다음 \(\phi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\)에서 각도를 다시 하강시켜 계산합니다. 마지막으로 \(\operatorname{nd} = 1/\operatorname{dn}\)으로 결과를 얻습니다.
계산 예시
u = 0.5, k = 0.5(m = 0.25)인 경우: \(\operatorname{sn} \approx 0.479262\)이므로 $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25\cdot 0.479262^{2}} \approx 0.970864$$이고, 따라서 \(\operatorname{nd} = 1/0.970864 \approx 1.0300\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
k = 0일 때는 어떻게 되나요? 모든 u에 대해 \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\)이므로 \(\operatorname{nd}(u, 0)\)는 정확히 1입니다.
k = 1일 때는요? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = 1/\cosh(u)\)이므로 \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\)가 됩니다.
nd가 정의되지 않는 경우도 있나요? 0 ≤ k < 1 범위에서는 dn이 항상 \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\) 이상으로 하한이 존재하므로, nd는 언제나 유한한 값을 가집니다. 오직 k = 1일 때만 (u → ±∞에서) dn이 0에 가까워지며, 이때 nd는 한없이 커집니다.
