Что такое функция Якоби nd?
Эллиптические функции Якоби sn, cn и dn обобщают привычные тригонометрические функции и возникают при обращении неполного эллиптического интеграла первого рода. Функция nd(u, k) — это просто величина, обратная дельта-амплитуде: \(\operatorname{nd}(u,k) = \frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}\). Она зависит от действительного аргумента u и эллиптического модуля k (обратите внимание: это именно модуль, а не параметр \(m = k^{2}\) и не модулярный угол).
$$\operatorname{nd}(u,k) = \frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} = \frac{1}{\sqrt{1 - k^{2}\,\operatorname{sn}^{2}(u,\,k)}}$$
Как пользоваться калькулятором
Введите аргумент u (любое действительное число) и модуль k (обычно \(0 \le k \le 1\)). Калькулятор выдаёт значение nd(u, k) с точностью примерно до десяти значащих цифр, а также промежуточные величины dn(u, k) и sn(u, k).
Разбор формулы
Полагая \(m = k^{2}\), амплитуду записываем как \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\), а \(\operatorname{dn}(u, k) = \sqrt{1 - m\cdot\operatorname{sn}^{2}(u, k)}\). Значение sn вычисляется через арифметико-геометрическое среднее (AGM) и нисходящее преобразование Ландена: строим последовательности a, b, c с начальными значениями \(a_{0}=1\), \(b_{0}=\sqrt{1-m}\), \(c_{0}=k\), выполняем итерации AGM до тех пор, пока c не станет пренебрежимо малым, затем «спускаем» угол \(\phi = 2^{N}\cdot a_{N}\cdot u\) обратно вниз. В конце получаем \(\operatorname{nd} = 1 / \operatorname{dn}\).
Пример расчёта
При \(u = 0{,}5\) и \(k = 0{,}5\) (\(m = 0{,}25\)): \(\operatorname{sn} \approx 0{,}479262\), поэтому \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}25\cdot 0{,}479262^{2}} \approx 0{,}970864\), а \(\operatorname{nd} = 1 / 0{,}970864 \approx 1{,}0300\).
Частые вопросы
Что происходит при k = 0? \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) при любом u, поэтому \(\operatorname{nd}(u, 0) = 1\) точно.
А при k = 1? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = 1/\cosh(u)\), значит \(\operatorname{nd}(u, 1) = \cosh(u)\).
Бывает ли nd неопределённой? При \(0 \le k < 1\) функция dn ограничена снизу величиной \(\sqrt{1 - k^{2}} > 0\), поэтому nd всегда конечна. Лишь при \(k = 1\) значение dn стремится к 0 (когда \(u \to \pm\infty\)), и тогда nd неограниченно растёт.
