Что такое функция Якоби cd?
Эллиптические функции Якоби sn, cn и dn обобщают привычные тригонометрические функции и встречаются повсюду в физике и инженерии: в движении маятника, в солитонных волнах, при расчёте электрических фильтров и в конформных отображениях. Функция cd(u, k) — одно из производных отношений, которое определяется предельно просто: как cn(u, k), делённое на dn(u, k). Здесь u — это аргумент, а k — модуль, безразмерное действительное число в диапазоне \(-1 \le k \le 1\). Это чистая математика, поэтому результат одинаков в любой точке мира.
Как пользоваться калькулятором
Введите аргумент u (любое действительное число) и модуль k в пределах от -1 до 1. Нажмите «Вычислить», чтобы получить cd(u, k) с высокой точностью. Поскольку cd зависит только от \(m = k^2\), отрицательное значение k даёт тот же результат, что и его модуль. Большие значения аргумента обрабатываются автоматически — приводить u вручную не нужно.
Разбор формулы
Зададим эллиптический параметр \(m = k^2\). Амплитуду phi = am(u, k) находим с помощью нисходящего преобразования Ландена по методу арифметико-геометрического среднего (АГС) — он быстрый и численно устойчивый. Далее \(\operatorname{sn} = \sin\phi\), \(\operatorname{cn} = \cos\phi\) и \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2}\), и наконец $$\operatorname{cd}(u,k) = \frac{\operatorname{cn}\!\left(\text{u},\,\text{k}\right)}{\operatorname{dn}\!\left(\text{u},\,\text{k}\right)}$$ Два частных случая: при k = 0 имеем $$\operatorname{cd}\!\left(\text{u},\,0\right) = \cos\!\left(\text{u}\right)$$ при k = 1 получаем cd(u, 1) = 1 для любого u.
Разбор примера
Возьмём \(u = 4\) и \(k = 0{,}7\), тогда \(m = 0{,}49\). Прогон лестницы АГС и спуск к амплитуде дают \(\phi \approx 3{,}4479\). Отсюда \(\operatorname{cn} = \cos(\phi) \approx -0{,}9533\), а \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49\cdot\sin^2\phi} \approx 0{,}9774\), так что $$\operatorname{cd} = \frac{-0{,}9533}{0{,}9774} \approx \mathbf{-0{,}9754}$$
Частые вопросы
Чем отличаются модуль k и параметр m? Многие библиотеки принимают на вход параметр \(m = k^2\), а не модуль k. Этот калькулятор работает напрямую с модулем k и возводит его в квадрат внутри расчёта.
Может ли dn обратиться в ноль? При \(|k| < 1\) выполняется \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2} \ge \sqrt{1 - m} > 0\), поэтому cd всегда конечна. При k = 1 имеем cn = dn, а значит cd = 1.
Чётная или нечётная функция cd относительно k? Чётная — cd зависит только от \(m = k^2\), поэтому \(\operatorname{cd}(u, -k) = \operatorname{cd}(u, k)\).
