¿Qué es la función cd de Jacobi?
Las funciones elípticas de Jacobi sn, cn y dn generalizan las funciones trigonométricas habituales y aparecen por todas partes en la física y la ingeniería: el movimiento del péndulo, las ondas solitónicas, el diseño de filtros eléctricos o las transformaciones conformes. La función cd(u, k) es uno de los cocientes derivados y se define sencillamente como cn(u, k) dividido entre dn(u, k). Aquí u es el argumento y k es el módulo, un número real adimensional con \(-1 \le k \le 1\). Se trata de matemáticas puras, así que el resultado es idéntico en cualquier lugar.
Cómo usar la calculadora
Introduce el argumento u (cualquier número real) y el módulo k entre -1 y 1. Pulsa calcular para obtener cd(u, k) con alta precisión. Como cd depende únicamente de \(m = k^2\), un valor negativo de k devuelve el mismo resultado que su valor absoluto. Los argumentos grandes se procesan de forma automática: no es necesario reducir u a mano.
La fórmula explicada
Tomamos el parámetro elíptico \(m = k^2\). La amplitud \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) se obtiene mediante la transformación descendente de Landen basada en la media aritmético-geométrica (AGM), que es rápida y numéricamente estable. A continuación, \(\operatorname{sn} = \sin\phi\), \(\operatorname{cn} = \cos\phi\) y \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2}\), y por último $$\operatorname{cd}(u,k) = \frac{\operatorname{cn}\!\left(u,\,k\right)}{\operatorname{dn}\!\left(u,\,k\right)}$$ Dos casos especiales: cuando \(k = 0\), $$\operatorname{cd}\!\left(u,\,0\right) = \cos\!\left(u\right)$$ cuando \(k = 1\), \(\operatorname{cd}(u, 1) = 1\) para todo u.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(u = 4\) y \(k = 0{,}7\), de modo que \(m = 0{,}49\). Al aplicar la escalera AGM y descender hasta la amplitud se obtiene \(\phi \approx 3{,}4479\). Entonces \(\operatorname{cn} = \cos(\phi) \approx -0{,}9533\) y \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49\cdot\sin^2\phi} \approx 0{,}9774\), así que $$\operatorname{cd} = \frac{-0{,}9533}{0{,}9774} \approx \mathbf{-0{,}9754}$$
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre el módulo k y el parámetro m? Muchas bibliotecas usan el parámetro \(m = k^2\) en lugar del módulo k. Esta calculadora utiliza directamente el módulo k y lo eleva al cuadrado internamente.
¿Puede dn llegar a ser cero? Para \(|k| < 1\), \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2} \ge \sqrt{1 - m} > 0\), por lo que cd siempre es finito. En \(k = 1\), \(\operatorname{cn} = \operatorname{dn}\), así que \(\operatorname{cd} = 1\).
¿Es cd par o impar respecto a k? Es par: cd depende solo de \(m = k^2\), de modo que \(\operatorname{cd}(u, -k) = \operatorname{cd}(u, k)\).
