ما هي دالة جاكوبي cd؟
تُعمّم دوال جاكوبي الإهليلجية sn وcn وdn الدوال المثلثية الاعتيادية، وتظهر في كثير من فروع الفيزياء والهندسة: حركة البندول، وموجات السوليتون، وتصميم المرشّحات الكهربائية، والتحويل المطابق (Conformal Mapping). والدالة cd(u, k) هي إحدى النسب المشتقة، وتُعرَّف ببساطة بأنها cn(u, k) مقسومة على dn(u, k). هنا u هو الوسيط، وk هو المعامل، وهو عدد حقيقي بلا أبعاد يحقق \(-1 \le k \le 1\). وبما أن الأمر رياضيات بحتة، فإن الناتج واحد في كل مكان.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الوسيط u (أي عدد حقيقي) والمعامل k الواقع بين -1 و1، ثم اضغط على «احسب» للحصول على قيمة cd(u, k) بدقة عالية. وبما أن قيمة cd تعتمد فقط على \(m = k^2\)، فإن قيمة k السالبة تُعطي النتيجة نفسها التي تُعطيها قيمتها المطلقة. كما تُعالَج القيم الكبيرة للوسيط تلقائيًا، فلا حاجة لاختزال u يدويًا.
شرح الصيغة
نضع المعامل الإهليلجي \(m = k^2\). ويُحسب السعة \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) باستخدام تحويل لاندن النازل القائم على المتوسط الحسابي-الهندسي (AGM)، وهو أسلوب سريع ومستقر عدديًا. بعد ذلك يكون \(\operatorname{sn} = \sin\phi\)، و\(\operatorname{cn} = \cos\phi\)، و\(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2}\)، وأخيرًا $$\operatorname{cd}(u,k) = \frac{\operatorname{cn}\!\left(\text{u},\,\text{k}\right)}{\operatorname{dn}\!\left(\text{u},\,\text{k}\right)}$$ وهناك حالتان خاصتان: عندما \(k = 0\) يكون $$\operatorname{cd}\!\left(\text{u},\,0\right) = \cos\!\left(\text{u}\right)$$ وعندما \(k = 1\) يكون \(\operatorname{cd}(u, 1) = 1\) لكل قيم u.
مثال محلول
لنأخذ \(u = 4\) و\(k = 0.7\)، فيكون \(m = 0.49\). وبتطبيق سُلّم AGM والنزول إلى السعة نحصل على \(\phi \approx 3.4479\). ومن ثَمّ \(\operatorname{cn} = \cos(\phi) \approx -0.9533\)، و\(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.49\cdot\sin^2\phi} \approx 0.9774\)، فيكون $$\operatorname{cd} = \frac{-0.9533}{0.9774} \approx \mathbf{-0.9754}$$
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين المعامل k والوسيط m؟ تعتمد كثير من المكتبات البرمجية على الوسيط \(m = k^2\) بدلًا من المعامل k. أما هذه الحاسبة فتستخدم المعامل k مباشرةً وتُربّعه داخليًا.
هل يمكن أن تساوي dn صفرًا؟ عندما يكون \(|k| < 1\)، يكون \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2} \ge \sqrt{1 - m} > 0\)، ولذا تبقى cd دائمًا منتهية. أما عند \(k = 1\) فيكون \(\operatorname{cn} = \operatorname{dn}\) ومن ثَمّ \(\operatorname{cd} = 1\).
هل cd دالة زوجية أم فردية بالنسبة إلى k؟ إنها زوجية، لأن cd تعتمد فقط على \(m = k^2\)، ولذلك \(\operatorname{cd}(u, -k) = \operatorname{cd}(u, k)\).
