什么是雅可比 cd 函数？
雅可比椭圆函数 sn、cn 和 dn 是普通三角函数的推广，广泛出现在物理与工程领域：单摆运动、孤立波、电学滤波器设计以及保角映射等。函数 cd(u, k) 是其中一个派生比值，定义非常简单，即 cn(u, k) 除以 dn(u, k)。其中 u 为自变量，k 为模，是一个无量纲实数，满足 \(-1 \le k \le 1\)。这是纯数学问题，因此计算结果在任何地方都完全一致。
如何使用本计算器
输入自变量 u（任意实数）以及介于 -1 和 1 之间的模 k，点击计算即可得到高精度的 cd(u, k)。由于 cd 只取决于 \(m = k^2\)，因此负的 k 与其绝对值返回相同的结果。大数值的自变量会被自动处理——无需手动对 u 做约化。
公式解析
令椭圆参数 \(m = k^2\)。振幅 \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) 通过算术-几何平均（AGM）的下降 Landen 变换求得，该方法计算快速且数值稳定。随后 \(\operatorname{sn} = \sin\phi\)、\(\operatorname{cn} = \cos\phi\)、\(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2}\)，最终 $$\operatorname{cd}(u,k) = \frac{\operatorname{cn}\!\left(\text{u},\,\text{k}\right)}{\operatorname{dn}\!\left(\text{u},\,\text{k}\right)}$$ 两个特殊情形：当 k = 0 时，\(\operatorname{cd}\!\left(\text{u},\,0\right) = \cos\!\left(\text{u}\right)\)；当 k = 1 时，对任意 u 都有 \(\operatorname{cd}(u, 1) = 1\)。
实例演算
取 \(u = 4\)，\(k = 0.7\)，则 \(m = 0.49\)。运行 AGM 迭代并下降求得振幅，得到 \(\phi \approx 3.4479\)。于是 \(\operatorname{cn} = \cos(\phi) \approx -0.9533\)，\(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.49\cdot\sin^2\phi} \approx 0.9774\)，所以 $$\operatorname{cd} = \frac{-0.9533}{0.9774} \approx -0.9754$$
常见问题
模 k 与参数 m 有什么区别？ 许多函数库采用参数 \(m = k^2\)，而不是模 k。本计算器直接使用模 k，并在内部对其平方。
dn 会等于零吗？ 当 \(|k| < 1\) 时，\(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2} \ge \sqrt{1 - m} > 0\)，因此 cd 始终为有限值。当 k = 1 时，\(\operatorname{cn} = \operatorname{dn}\)，故 \(\operatorname{cd} = 1\)。
cd 关于 k 是偶函数还是奇函数？ 它是偶函数——cd 只取决于 \(m = k^2\)，所以 \(\operatorname{cd}(u, -k) = \operatorname{cd}(u, k)\)。
