Qu'est-ce que la fonction cd de Jacobi ?
Les fonctions elliptiques de Jacobi sn, cn et dn généralisent les fonctions trigonométriques classiques et interviennent dans de nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie : oscillations du pendule, ondes solitons, conception de filtres électriques ou encore représentation conforme. La fonction cd(u, k) est l'un des rapports dérivés, simplement défini comme cn(u, k) divisé par dn(u, k). Ici, u désigne l'argument et k le module, un nombre réel sans dimension tel que \(-1 \le k \le 1\). Il s'agit de mathématiques pures : le résultat est donc identique partout dans le monde.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez l'argument u (n'importe quel nombre réel) et le module k compris entre -1 et 1. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir cd(u, k) avec une grande précision. Comme cd ne dépend que de \(m = k^2\), un k négatif renvoie la même valeur que sa valeur absolue. Les grands arguments sont traités automatiquement — inutile de réduire u à la main.
La formule expliquée
On pose le paramètre elliptique \(m = k^2\). L'amplitude \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) est obtenue grâce à la transformation de Landen descendante par la moyenne arithmético-géométrique (MAG), à la fois rapide et numériquement stable. On a alors \(\operatorname{sn} = \sin\phi\), \(\operatorname{cn} = \cos\phi\) et \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2}\), puis enfin $$\operatorname{cd}(u,k) = \frac{\operatorname{cn}\!\left(u,\,k\right)}{\operatorname{dn}\!\left(u,\,k\right)}$$ Deux cas particuliers : lorsque k = 0, \(\operatorname{cd}(u, 0) = \cos(u)\) ; lorsque k = 1, \(\operatorname{cd}(u, 1) = 1\) pour tout u.
Exemple détaillé
Prenons \(u = 4\) et \(k = 0{,}7\), soit \(m = 0{,}49\). En déroulant l'échelle de la MAG et en descendant jusqu'à l'amplitude, on obtient \(\phi \approx 3{,}4479\). On a alors \(\operatorname{cn} = \cos(\phi) \approx -0{,}9533\) et \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49\cdot\sin^2\phi} \approx 0{,}9774\), d'où $$\operatorname{cd} = \frac{-0{,}9533}{0{,}9774} \approx -0{,}9754$$
Foire aux questions
Quelle est la différence entre le module k et le paramètre m ? De nombreuses bibliothèques utilisent le paramètre \(m = k^2\) plutôt que le module k. Ce calculateur emploie directement le module k et l'élève au carré en interne.
dn peut-il s'annuler ? Pour \(|k| < 1\), \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2} \ge \sqrt{1 - m} > 0\), si bien que cd reste toujours fini. Pour k = 1, \(\operatorname{cn} = \operatorname{dn}\) et donc \(\operatorname{cd} = 1\).
cd est-elle paire ou impaire en k ? Elle est paire — cd ne dépend que de \(m = k^2\), donc \(\operatorname{cd}(u, -k) = \operatorname{cd}(u, k)\).
