Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue les trois fonctions elliptiques de Jacobi — \(\operatorname{sn}(u,k)\), \(\operatorname{cn}(u,k)\) et \(\operatorname{dn}(u,k)\) — pour tout argument réel \(u\) et un module \(k\) compris entre 0 et 1. Ces fonctions généralisent les fonctions trigonométriques classiques et interviennent partout en physique et en ingénierie : le mouvement exact du pendule, les solitons (équations de Korteweg-de Vries et de sine-Gordon), la conception de filtres elliptiques ou encore les transformations conformes.
Conventions : module, paramètre et angle
Les conventions ont leur importance. Ce calculateur utilise le module \(k\), avec \(0 \le k \le 1\). Le paramètre associé est \(m = k^2\), et l'angle modulaire vaut \(\alpha = \arcsin(k)\). Si votre source exprime \(m\) ou \(\alpha\), convertissez-les au préalable : \(k = \sqrt{m}\) ou \(k = \sin(\alpha)\). L'argument \(u\) et tous les angles sont exprimés en radians.
Mode d'emploi
Saisissez l'argument \(u\) (un réel quelconque) et le module \(k\) entre 0 et 1, puis lisez directement \(\operatorname{sn}\), \(\operatorname{cn}\) et \(\operatorname{dn}\). Le panneau de résultats affiche également les deux identités fondamentales, qui doivent toutes deux être égales à 1 — un contrôle de précision intégré.
La formule et l'algorithme
L'amplitude \(\phi = \operatorname{am}(u,k)\) est définie implicitement par $$u = \int_{0}^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}.$$ On a alors \(\operatorname{sn} = \sin(\phi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\phi)\) et \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}\). Le calculateur inverse cette intégrale par la méthode de Landen descendante / de la moyenne arithmético-géométrique (MAG), dont la convergence est quadratique et qui atteint la double précision en une dizaine d'étapes. Les cas limites \(k = 0\) (\(\operatorname{sn} = \sin u\), \(\operatorname{cn} = \cos u\), \(\operatorname{dn} = 1\)) et \(k = 1\) (\(\operatorname{sn} = \tanh u\), \(\operatorname{cn} = \operatorname{dn} = \operatorname{sech} u\)) sont traités par leurs formes explicites afin d'éviter la dégénérescence de la MAG.
Exemple résolu
Prenons \(u = 1{,}0\) et \(k = 0{,}5\) (donc \(m = 0{,}25\)). L'amplitude vaut \(\operatorname{am}(1,\ 0{,}5) \approx 0{,}95985\) rad, ce qui donne \(\operatorname{sn} \approx 0{,}81962\), \(\operatorname{cn} \approx 0{,}57280\) et $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}25 \cdot 0{,}81962^2} \approx 0{,}91217.$$ Les deux identités sont bien vérifiées : \(\operatorname{sn}^2 + \operatorname{cn}^2 \approx 1\) et \(\operatorname{dn}^2 + k^2\operatorname{sn}^2 \approx 1\).
FAQ
Quelles sont les périodes ? \(\operatorname{sn}\) et \(\operatorname{cn}\) ont une période réelle de \(4K(k)\) ; \(\operatorname{dn}\) a une période de \(2K(k)\), où \(K(k)\) désigne l'intégrale elliptique complète de première espèce.
Dans quelles plages évoluent les valeurs ? \(|\operatorname{sn}| \le 1\), \(|\operatorname{cn}| \le 1\), et \(k' \le \operatorname{dn} \le 1\), où \(k' = \sqrt{1 - k^2}\) est le module complémentaire.
\(k\) peut-il dépasser 1 ? Les fonctions de Jacobi à valeurs réelles exigent \(0 \le k \le 1\) ; toute valeur de \(k\) en dehors de cet intervalle est ramenée à la borne valide la plus proche.
