À quoi sert ce calculateur
Cet outil réalise la transformation classique de rotation des axes issue de la géométrie analytique plane. Vous saisissez un point de coordonnées (x, y) exprimées dans le repère d'origine, ainsi qu'un angle thêta correspondant à la rotation des axes dans le sens trigonométrique (anti-horaire) autour de l'origine. Le calculateur renvoie les coordonnées (X, Y) de ce même point fixe, vues cette fois dans le nouveau repère tourné. Il s'agit d'une transformation passive : le point reste immobile, ce sont les axes qui pivotent.
Comment l'utiliser
Indiquez les valeurs d'origine x et y, saisissez l'angle de rotation thêta, puis précisez s'il est exprimé en degrés ou en radians. Un angle positif fait tourner les axes dans le sens trigonométrique (anti-horaire) ; entrez une valeur négative pour une rotation dans le sens horaire. Lancez le calcul pour obtenir les nouvelles coordonnées X et Y, ainsi que l'angle converti en radians.
La formule expliquée
La transformation s'écrit $$\begin{aligned} X &= x\cos\theta + y\sin\theta \\ Y &= -x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$ Sous forme matricielle, il s'agit de la matrice de rotation comportant \(\cos\theta\) sur la diagonale et \(\sin\theta\)/\(-\sin\theta\) hors diagonale. Comme c'est une matrice orthogonale, la distance à l'origine est conservée : \(X^2 + Y^2\) est toujours égal à \(x^2 + y^2\), ce qui constitue une vérification bien pratique.
Exemple concret
Prenons \(x = 3\), \(y = 4\) et \(\theta = 30\) degrés. On a alors \(\cos 30 = 0{,}8660254\) et \(\sin 30 = 0{,}5\). Donc $$X = 3(0{,}8660254) + 4(0{,}5) = 4{,}59807621$$ $$Y = -3(0{,}5) + 4(0{,}8660254) = 1{,}96410162$$ Vérification : $$4{,}59807621^2 + 1{,}96410162^2 = 25 = 3^2 + 4^2,$$ ce qui confirme bien que la distance est préservée.
FAQ
Quelle différence entre faire tourner les axes et faire tourner le point ? Faire tourner les axes (cet outil) est une transformation passive. Faire tourner le point lui-même correspond à la version active, qui utilise la convention de signes transposée : \(X = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(Y = x\sin\theta + y\cos\theta\).
Puis-je saisir des angles supérieurs à 360 degrés ? Oui. N'importe quelle valeur réelle convient, car les fonctions trigonométriques sont périodiques ; les valeurs hors de l'intervalle 0 à 360 donnent des résultats équivalents.
Pourquoi la distance à l'origine reste-t-elle inchangée ? Une rotation est une isométrie : elle conserve les longueurs et les angles, si bien que la distance radiale du point à l'origine est identique dans les deux repères.
