Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, analitik geometrinin klasik eksen döndürme dönüşümünü gerçekleştirir. Orijinal eksenlere göre ölçülen (x, y) koordinatlarına sahip bir nokta ile, koordinat eksenlerinin orijin etrafında saat yönünün tersine döndürüldüğü theta açısını girersiniz. Hesaplayıcı, aynı sabit noktanın yeni, döndürülmüş eksenlerdeki (X, Y) koordinatlarını verir. Bu, pasif bir dönüşümdür: nokta yerinde kalır, eksenler döner.
Nasıl kullanılır?
Orijinal x ve y değerlerini girin, döndürme açısı theta'yı yazın ve theta'nın derece mi yoksa radyan cinsinden mi olduğunu seçin. Pozitif bir açı eksenleri saat yönünün tersine döndürür; saat yönünde döndürmek için negatif bir sayı girin. Yeni X ve Y koordinatlarını ve radyan cinsinden ifade edilen açıyı almak için hesapla düğmesine basın.
Formülün açıklaması
Dönüşüm şöyledir:
$$\begin{aligned} X &= x\cos\theta + y\sin\theta \\ Y &= -x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$Matris biçiminde bu, köşegende \(\cos\theta\) ile köşegen dışında \(\sin\theta/-\sin\theta\) bulunan döndürme matrisidir. Bu bir ortogonal matris olduğundan orijine olan uzaklık korunur: \(X^2 + Y^2\) her zaman \(x^2 + y^2\)ye eşittir; bu da işe yarayan bir doğruluk kontrolüdür.
Çözümlü örnek
\(x = 3\), \(y = 4\), \(\theta = 30\) derece alalım. O zaman \(\cos 30 = 0{,}8660254\) ve \(\sin 30 = 0{,}5\) olur. Buradan
$$X = 3(0{,}8660254) + 4(0{,}5) = 4{,}59807621$$$$Y = -3(0{,}5) + 4(0{,}8660254) = 1{,}96410162$$bulunur. Kontrol edelim: \(4{,}59807621^2 + 1{,}96410162^2 = 25 = 3^2 + 4^2\); bu da uzaklığın korunduğunu doğrular.
Sıkça Sorulan Sorular
Eksenleri döndürmek ile noktayı döndürmek arasındaki fark nedir? Eksenleri döndürmek (bu araç) pasif bir dönüşümdür. Noktanın kendisini döndürmek ise aktif versiyondur ve devrik işaret kuralını kullanır: \(X = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(Y = x\sin\theta + y\cos\theta\).
360 dereceden büyük açılar girebilir miyim? Evet. Trigonometrik fonksiyonlar doğal olarak döngüsel olduğundan herhangi bir reel açı çalışır; 0 ile 360 aralığının dışındaki değerler eşdeğer sonuçlar verir.
Orijine olan uzaklık neden değişmez? Döndürme bir izometridir: uzunlukları ve açıları korur, dolayısıyla noktanın orijine olan radyal uzaklığı her iki koordinat sisteminde de aynıdır.
