यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल समतल वैश्लेषिक ज्यामिति (plane analytic geometry) के सुप्रसिद्ध अक्षों के घूर्णन रूपांतरण को करता है। आप मूल अक्षों के सापेक्ष मापे गए किसी बिंदु के निर्देशांक (x, y) और वह कोण theta देते हैं जिससे निर्देशांक अक्षों को मूल बिंदु (origin) के परितः वामावर्त (counterclockwise) घुमाया जाता है। कैलकुलेटर उसी स्थिर बिंदु के निर्देशांक (X, Y) लौटाता है — पर अब नए, घूर्णित अक्षों में देखे गए। यह एक निष्क्रिय (passive) रूपांतरण है: बिंदु अपनी जगह स्थिर रहता है, जबकि अक्ष घूमते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
मूल x और y मान दर्ज करें, घूर्णन कोण theta लिखें, और चुनें कि theta डिग्री में है या रेडियन में। धनात्मक कोण अक्षों को वामावर्त घुमाता है; दक्षिणावर्त (clockwise) घूर्णन के लिए ऋणात्मक संख्या दर्ज करें। नए निर्देशांक X और Y तथा रेडियन में व्यक्त कोण पाने के लिए "गणना करें" दबाएँ।
सूत्र की व्याख्या
रूपांतरण इस प्रकार है:
$$\begin{aligned} x^{\prime} &= x\cos\theta + y\sin\theta \\ y^{\prime} &= -x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$आव्यूह (matrix) रूप में यह वह घूर्णन आव्यूह है जिसके विकर्ण पर \(\cos\theta\) और विकर्ण से बाहर \(\sin\theta / -\sin\theta\) होते हैं। चूँकि यह एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है, मूल बिंदु से दूरी अपरिवर्तित रहती है: \(X^2 + Y^2\) हमेशा \(x^2 + y^2\) के बराबर होता है — जो जाँच के लिए एक आसान तरीका है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x = 3\), \(y = 4\), \(\theta = 30\) डिग्री। तब \(\cos 30 = 0.8660254\) और \(\sin 30 = 0.5\)। इसलिए
$$X = 3(0.8660254) + 4(0.5) = 4.59807621$$$$Y = -3(0.5) + 4(0.8660254) = 1.96410162$$जाँच करें: \(4.59807621^2 + 1.96410162^2 = 25 = 3^2 + 4^2\), जो दर्शाता है कि दूरी संरक्षित रहती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अक्षों को घुमाने और बिंदु को घुमाने में क्या अंतर है? अक्षों को घुमाना (यह टूल) एक निष्क्रिय रूपांतरण है। स्वयं बिंदु को घुमाना सक्रिय (active) संस्करण है, जो परिवर्तित चिह्न परिपाटी का उपयोग करता है: \(X = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(Y = x\sin\theta + y\cos\theta\)।
क्या मैं 360 डिग्री से बड़े कोण दर्ज कर सकता हूँ? हाँ। कोई भी वास्तविक कोण काम करता है क्योंकि त्रिकोणमितीय फलन स्वाभाविक रूप से चक्रीय होते हैं; 0 से 360 की सीमा से बाहर के मान समतुल्य परिणाम देते हैं।
मूल बिंदु से दूरी अपरिवर्तित क्यों रहती है? घूर्णन एक सममिति (isometry) है: यह लंबाइयों और कोणों को संरक्षित रखता है, इसलिए बिंदु की मूल बिंदु से त्रिज्यीय दूरी दोनों निर्देशांक प्रणालियों में समान रहती है।
