Что делает этот калькулятор
Инструмент выполняет классическое преобразование поворота осей из аналитической геометрии на плоскости. Вы задаёте точку с координатами (x, y) в исходной системе осей и угол θ, на который оси поворачиваются против часовой стрелки вокруг начала координат. Калькулятор возвращает координаты (X, Y) той же неподвижной точки, но уже в новой, повёрнутой системе осей. Это пассивное преобразование: сама точка остаётся на месте, а поворачиваются именно оси.
Как пользоваться
Введите исходные значения x и y, укажите угол поворота θ и выберите, в чём он задан — в градусах или радианах. Положительный угол поворачивает оси против часовой стрелки; чтобы повернуть их по часовой стрелке, введите отрицательное число. Нажмите «Рассчитать», чтобы получить новые координаты X и Y, а также угол, выраженный в радианах.
Разбор формулы
Преобразование задаётся так:
$$\begin{aligned} X &= x\cos\theta + y\sin\theta \\ Y &= -x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$В матричной форме это матрица поворота, у которой на диагонали стоит \(\cos\theta\), а вне диагонали — \(\sin\theta\) и \(-\sin\theta\). Поскольку эта матрица ортогональна, расстояние от начала координат сохраняется: \(X^2 + Y^2\) всегда равно \(x^2 + y^2\), и это удобный способ проверить вычисления.
Разбор примера
Возьмём \(x = 3\), \(y = 4\), \(\theta = 30°\). Тогда \(\cos 30 = 0{,}8660254\) и \(\sin 30 = 0{,}5\). Получаем
$$X = 3 \cdot 0{,}8660254 + 4 \cdot 0{,}5 = 4{,}59807621$$$$Y = -3 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}8660254 = 1{,}96410162$$Проверка: \(4{,}59807621^2 + 1{,}96410162^2 = 25 = 3^2 + 4^2\), значит расстояние действительно сохранилось.
Частые вопросы
Чем отличается поворот осей от поворота точки? Поворот осей (как в этом калькуляторе) — пассивное преобразование. Поворот самой точки — активный вариант, в нём знаки в формулах транспонированы: \(X = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(Y = x\sin\theta + y\cos\theta\).
Можно ли вводить углы больше 360°? Да. Подойдёт любой действительный угол, ведь тригонометрические функции периодичны; значения за пределами диапазона от 0 до 360 дают эквивалентный результат.
Почему расстояние от начала координат не меняется? Поворот — это движение (изометрия): он сохраняет длины и углы, поэтому радиальное расстояние точки от начала координат одинаково в обеих системах.
