Bu hesap aracı ne işe yarar?
Bu araç, seçtiğiniz bir n derecesi için Legendre polinomu \(P_n(x)\) değerlerinin tablosunu, bir dizi x değeri üzerinden oluşturur ve buna karşılık gelen eğriyi çizer. Dereceyi, başlangıç x değerini, adım artışını ve kaç satır istediğinizi belirlersiniz; araç da her bir \((x, P_n(x))\) ikilisini ve bir çizgi grafiğini döndürür. Legendre polinomları, [-1, 1] aralığında ortogonal olan klasik bir polinom ailesidir ve fizikle uygulamalı matematikte sıkça karşımıza çıkar — Laplace denkleminin çözümlerinde, multipol açılımlarında, küresel harmoniklerde ve Gauss kuadratüründe kullanılır.
Nasıl kullanılır?
n (derece) alanına negatif olmayan bir tam sayı girin (0, 1, 2, …). x'in başlangıç değerini (genellikle -1), ardışık x değerleri arasındaki artış (adım) miktarını (örneğin 0,02) ve oluşturulmasını istediğiniz tekrar (satır) sayısını belirleyin. i. satır, \(x = \text{başlangıçX} + i \times \text{adım}\) formülünü kullanır. Polinomlar en anlamlı şekilde [-1, 1] aralığında olsa da, formül her gerçek x değeri için çalışır — bu aralığın dışında değerlerin büyüklüğünün hızla arttığını unutmayın.
Formülün açıklaması
Hesaplayıcı, kapalı formları açmak yerine sayısal kararlılık için Bonnet özyinelemesini kullanır: \(P_0(x) = 1\) ve \(P_1(x) = x\) ile başlanır, ardından şu bağıntı yinelenir:
$$P_{k+1}(x) = \frac{(2k+1)\cdot x\cdot P_k(x) - k\cdot P_{k-1}(x)}{k+1}$$İlk kapalı formlar şunlardır: \(P_2 = \dfrac{3x^2 - 1}{2}\), \(P_3 = \dfrac{5x^3 - 3x}{2}\) ve \(P_4 = \dfrac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}\).
Çözümlü örnek
n = 3 ve x = 0,5 için: \(P_0 = 1\), \(P_1 = 0{,}5\). Sonra
$$P_2 = \frac{3\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5 - 1}{2} = -0{,}125$$$$P_3 = \frac{5\cdot 0{,}5\cdot(-0{,}125) - 2\cdot 0{,}5}{3} = \frac{-1{,}3125}{3} = -0{,}4375$$Kapalı form \(\dfrac{5x^3 - 3x}{2}\) de aynı sonucu verir ve özyinelemeyi doğrular.
Sık sorulan sorular
n = 0 neyi verir? Her x için sabit 1 değerini verir, dolayısıyla grafik düz yatay bir çizgi olur. Uç nokta değerleri nelerdir? Her Legendre polinomu \(P_n(1) = 1\) ve \(P_n(-1) = (-1)^n\) koşulunu sağlar. Neden açık formüller yerine özyineleme kullanılıyor? Üç terimli özyineleme, herhangi bir derece için hızlı ve sayısal olarak kararlıdır; yüksek dereceli açık polinomlarda görülen sadeleşme (yuvarlama) hatalarından kaçınır.
