什麼是雅可比 cd 函數？
雅可比橢圓函數 sn、cn 與 dn 是一般三角函數的推廣，廣泛出現在物理與工程領域：單擺運動、孤立波（soliton）、電子濾波器設計，以及保角映射等。cd(u, k) 是其中一個衍生比值，定義非常簡單，就是 cn(u, k) 除以 dn(u, k)。其中 u 為自變數，k 為模數，是一個無因次的實數，範圍為 \(-1 \le k \le 1\)。由於這純屬數學運算，因此無論在哪裡計算，結果都完全一致。
如何使用本計算器
輸入自變數 u（任意實數）以及介於 -1 到 1 之間的模數 k，按下計算即可獲得高精度的 cd(u, k)。由於 cd 只取決於 \(m = k^2\)，因此負的 k 會得到與其絕對值相同的結果。較大的 u 值也會自動處理——請勿自行手動縮減 u。
公式說明
我們設橢圓參數 \(m = k^2\)。振幅 \(\phi = \operatorname{am}(u, k)\) 透過算術—幾何平均（AGM）的下降型 Landen 變換求得，此方法快速且數值穩定。接著 \(\operatorname{sn} = \sin\phi\)、\(\operatorname{cn} = \cos\phi\)、\(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2}\)，最後 $$\operatorname{cd}(u,k) = \frac{\operatorname{cn}\!\left(\text{u},\,\text{k}\right)}{\operatorname{dn}\!\left(\text{u},\,\text{k}\right)}$$ 有兩個特例：當 k = 0 時， $$\operatorname{cd}\!\left(\text{u},\,0\right) = \cos\!\left(\text{u}\right)$$ 當 k = 1 時，對所有 u 而言 \(\operatorname{cd}(u, 1) = 1\)。
範例演算
取 u = 4、k = 0.7，因此 \(m = 0.49\)。執行 AGM 階梯運算並下降求得振幅，得 \(\phi \approx 3.4479\)。接著 \(\operatorname{cn} = \cos(\phi) \approx -0.9533\)，\(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.49\cdot\sin^2\phi} \approx 0.9774\)，所以 $$\operatorname{cd} = \frac{-0.9533}{0.9774} \approx -0.9754$$
常見問題
模數 k 與參數 m 有什麼差別？許多函式庫採用的是參數 \(m = k^2\)，而非模數 k。本計算器直接使用模數 k，並在內部自行取平方。
dn 有可能等於零嗎？當 \(|k| < 1\) 時，\(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2} \ge \sqrt{1 - m} > 0\)，因此 cd 永遠為有限值。當 k = 1 時，\(\operatorname{cn} = \operatorname{dn}\)，所以 \(\operatorname{cd} = 1\)。
cd 對 k 而言是偶函數還是奇函數？它是偶函數——cd 只取決於 \(m = k^2\)，因此 \(\operatorname{cd}(u, -k) = \operatorname{cd}(u, k)\)。
