Hàm Jacobi cd là gì?
Các hàm elliptic Jacobi sn, cn và dn là sự mở rộng của những hàm lượng giác quen thuộc, và xuất hiện ở khắp nơi trong vật lý cũng như kỹ thuật: chuyển động con lắc, sóng soliton, thiết kế bộ lọc điện, và phép biến hình bảo giác. Hàm cd(u, k) là một trong các tỷ số dẫn xuất, được định nghĩa đơn giản là cn(u, k) chia cho dn(u, k). Ở đây u là đối số còn k là mô-đun — một số thực không thứ nguyên với \(-1 \le k \le 1\). Đây là toán học thuần túy nên kết quả là như nhau ở mọi nơi.
Cách dùng máy tính
Nhập đối số u (số thực bất kỳ) và mô-đun k nằm trong khoảng -1 đến 1. Bấm tính để nhận giá trị cd(u, k) với độ chính xác cao. Vì cd chỉ phụ thuộc vào \(m = k^2\) nên giá trị k âm sẽ cho kết quả giống hệt giá trị tuyệt đối của nó. Các đối số lớn được xử lý tự động — bạn không cần thu gọn u bằng tay.
Giải thích công thức
Ta đặt tham số elliptic \(m = k^2\). Biên độ phi = am(u, k) được tìm bằng phép biến đổi Landen giảm dần theo Trung Bình Số Học - Hình Học (AGM), vốn nhanh và ổn định về mặt số học. Sau đó \(\operatorname{sn} = \sin\varphi\), \(\operatorname{cn} = \cos\varphi\) và \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2}\), cuối cùng $$\operatorname{cd}(u,k) = \frac{\operatorname{cn}\!\left(u,\,k\right)}{\operatorname{dn}\!\left(u,\,k\right)}$$ Hai trường hợp đặc biệt: khi k = 0 thì \(\operatorname{cd}\!\left(u,\,0\right) = \cos\!\left(u\right)\); khi k = 1 thì cd(u, 1) = 1 với mọi u.
Ví dụ minh họa
Lấy u = 4 và k = 0,7, vậy \(m = 0{,}49\). Chạy thang AGM rồi giảm xuống biên độ ta được \(\varphi \approx 3{,}4479\). Khi đó \(\operatorname{cn} = \cos(\varphi) \approx -0{,}9533\) và \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49\cdot\sin^2\varphi} \approx 0{,}9774\), nên $$\operatorname{cd} = \frac{-0{,}9533}{0{,}9774} \approx -0{,}9754$$
Câu hỏi thường gặp
Mô-đun k và tham số m khác nhau thế nào? Nhiều thư viện nhận vào tham số \(m = k^2\) thay vì mô-đun k. Máy tính này dùng trực tiếp mô-đun k và bình phương nó ở bên trong.
dn có thể bằng 0 không? Với \(|k| < 1\), ta có \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - m\,\operatorname{sn}^2} \ge \sqrt{1 - m} > 0\), nên cd luôn hữu hạn. Tại k = 1, cn = dn nên cd = 1.
cd là hàm chẵn hay lẻ theo k? Nó là hàm chẵn — cd chỉ phụ thuộc vào \(m = k^2\), do đó \(\operatorname{cd}(u, -k) = \operatorname{cd}(u, k)\).
