arcsn(x, k) là gì?
Hàm sin elliptic Jacobi ngược, ký hiệu arcsn(x, k), trả lời câu hỏi: cho một giá trị x và một mô-đun elliptic k, đối số u nào sẽ cho sn(u, k) = x? Ở đây sn là sin elliptic Jacobi — một dạng tổng quát có hai chu kỳ của hàm sin thông thường, xuất hiện rộng rãi trong lý thuyết chuyển động con lắc, các dao động phi tuyến, ánh xạ bảo giác và lời giải của một số phương trình vi phân. Đây là công cụ toán học thuần túy và áp dụng được cho mọi trường hợp.
Công thức
arcsn(x, k) chính xác là tích phân elliptic loại một không đầy đủ được tính tại biên độ phi = arcsin(x):
$$\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k) = \int_{0}^{\arcsin x} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2}\theta}}$$ hay tương đương là $$\int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2} t^{2})}}$$ Máy tính này dùng quy ước mô-đun \(k\) (nên tham số là \(m = k^{2}\)). Kết quả được tính bằng dạng đối xứng Carlson $$\operatorname{arcsn}(x, k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^{2},\; 1 - k^{2}x^{2},\; 1\right)$$ trong đó \(R_F\) được tính bằng thuật toán nhân đôi hội tụ nhanh. Cách này cho độ chính xác kép đầy đủ và là nghiệm dạng đóng chính xác.
Cách sử dụng
Nhập x trong khoảng từ -1 đến 1 và mô-đun k trong khoảng từ 0 đến 1, rồi đọc kết quả u. Bộ chọn độ chính xác chỉ điều chỉnh số chữ số hiển thị; phép tính bên dưới luôn chạy ở độ chính xác kép (khoảng 15 chữ số có nghĩa).
Ví dụ minh họa
Với \(x = 0{,}7\) và \(k = 0{,}8\): $$\operatorname{arcsn} = 0{,}7 \cdot R_F(0{,}51;\, 0{,}6864;\, 1) \approx 0{,}7 \cdot 1{,}18218 \approx 0{,}82753$$ Để kiểm tra nhanh, khi \(k = 0\) thì kết quả sẽ là \(\arcsin(0{,}7) = 0{,}77540\); vì \(k = 0{,}8\) khiến mẫu số của hàm dưới dấu tích phân nhỏ hơn 1 nên tích phân tăng lên, do đó \(u > 0{,}7754\), phù hợp với 0,8275.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi k = 0? Hàm dưới dấu tích phân rút gọn về 1, nên \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\).
Điều gì xảy ra khi k = 1? $$\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{atanh}(x) = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$ giá trị này phân kỳ khi x tiến tới \(\pm 1\).
arcsn(±1, k) bằng bao nhiêu khi k < 1? Nó bằng \(\pm K(k)\), tức tích phân elliptic loại một đầy đủ, một giá trị hữu hạn. Chỉ có trường hợp \(k = 1\) kết hợp với \(x = \pm 1\) mới phân kỳ.
