Máy tính hàm sai số nghịch đảo là gì?
Công cụ này tính hàm sai số nghịch đảo, \(\operatorname{erf}^{-1}(y)\), và hàm sai số bù nghịch đảo, \(\operatorname{erfc}^{-1}(y)\), với một đối số không thứ nguyên \(y\) cho trước. Hàm sai số $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt$$ xuất hiện trong rất nhiều bài toán về xác suất, khuếch tán và xử lý tín hiệu. Hàm nghịch đảo của nó trả lời câu hỏi ngược lại: cho một giá trị \(y\), vậy \(x\) nào sẽ cho \(\operatorname{erf}(x) = y\)?
Cách sử dụng
Nhập một giá trị \(y\) và chọn số chữ số muốn hiển thị. Với \(\operatorname{erf}^{-1}\), miền giá trị hợp lệ là \(-1 < y < 1\); với \(\operatorname{erfc}^{-1}\), miền hợp lệ là \(0 < y < 2\). Hai kết quả được liên kết với nhau qua đẳng thức \(\operatorname{erfc}^{-1}(y) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - y)\), bởi vì \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\). Tại các biên, kết quả phân kỳ tới \(\pm\infty\) (chẳng hạn \(\operatorname{erf}^{-1}(1) = +\infty\)).
Giải thích công thức
Hàm \(\operatorname{erf}^{-1}\) không có dạng đóng sơ cấp. Chúng tôi bắt đầu từ giá trị khởi tạo theo công thức xấp xỉ hữu tỉ của Giles (2010), có độ chính xác khoảng 1e-7, sau đó tinh chỉnh bằng phương pháp Newton: $$x_{n+1} = x_n - \frac{\operatorname{erf}(x_n) - y}{(2/\sqrt{\pi})\, e^{-x_n^{2}}}.$$ Đạo hàm của \(\operatorname{erf}\) là \((2/\sqrt{\pi})\, e^{-x^{2}}\). Lặp lại cho đến khi phần dư \(|\operatorname{erf}(x_n) - y|\) nhỏ hơn 1e-15 sẽ cho độ chính xác kép (double precision) đầy đủ.
Ví dụ minh họa
Với \(y = 0{,}3\): \(\operatorname{erf}^{-1}(0{,}3) \approx 0{,}2724627\) vì \(\operatorname{erf}(0{,}2724627) \approx 0{,}3\). Khi đó $$\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}3) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0{,}3) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}7) \approx 0{,}7328691,$$ sao cho \(\operatorname{erfc}(0{,}7328691) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(\operatorname{erf}^{-1}\) và \(\operatorname{erfc}^{-1}\) bằng nhau tại \(y = 0{,}5\)? Bởi vì \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}5)\); các đối số chỉ trùng nhau đúng tại \(y = 0{,}5\).
Điều gì xảy ra tại các biên của miền giá trị? \(\operatorname{erf}^{-1}(\pm 1) = \pm\infty\) và \(\operatorname{erfc}^{-1}(0) = +\infty\), \(\operatorname{erfc}^{-1}(2) = -\infty\). Giá trị nhập nằm ngoài miền sẽ trả về lỗi.
\(\operatorname{erf}^{-1}\) có phải là hàm lẻ không? Đúng vậy: \(\operatorname{erf}^{-1}(-y) = -\operatorname{erf}^{-1}(y)\).
