Công cụ này làm gì
Máy tính này xác định độ dịch chuyển x(t) của một dao động điều hòa tắt dần một chiều, được thả ra từ trạng thái nghỉ tại vị trí ban đầu x0. Công cụ giải phương trình chuyển động chuẩn (đã chuẩn hóa theo khối lượng) và lập bảng vị trí qua bốn chu kỳ riêng, giúp bạn thấy rõ cách hệ dần ổn định về vị trí cân bằng. Đồng thời, nó cũng phân loại chuyển động thuộc dạng tắt dần yếu, tắt dần tới hạn hay quá tắt dần.
Phương trình chủ đạo
Chuyển động tuân theo phương trình vi phân thường tuyến tính \(\frac{d^2x}{dt^2} + 2k\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0\), trong đó \(\omega_0\) là tần số góc riêng (khi không có tắt dần) và \(k\) là hệ số cản (tắt dần), cả hai đều có đơn vị \(1/\text{s}\). Với điều kiện ban đầu \(x(0) = \text{x}_0\) và \(\frac{dx}{dt}(0) = 0\), nghiệm giải tích phụ thuộc vào việc so sánh \(k\) với \(\omega_0\).
Khi \(k < \omega_0\), hệ ở chế độ tắt dần yếu và dao động với tần số góc tắt dần giảm đi $$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - k^2},$$ biên độ suy giảm theo \(e^{-kt}\): $$x(t) = \text{x}_0\, e^{-kt}\left(\cos\omega_d t + \frac{k}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)\quad,\quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^{2} - k^{2}}$$ Khi \(k = \omega_0\), hệ ở chế độ tắt dần tới hạn và trở về trạng thái nghỉ nhanh nhất có thể mà không dao động: $$x(t) = \text{x}_0\left(1 + \omega_0\, t\right) e^{-\omega_0\, t}$$ Khi \(k > \omega_0\), hệ ở chế độ quá tắt dần và bò về vị trí cân bằng một cách chậm chạp, không dao động: $$x(t) = \frac{\text{x}_0}{2\omega_d}\left[(\omega_d + k)\, e^{(\omega_d - k)t} + (\omega_d - k)\, e^{-(\omega_d + k)t}\right]\quad,\quad \omega_d = \sqrt{k^{2} - \omega_0^{2}}$$
Cách sử dụng
Nhập tần số góc riêng \(\omega_0\) (phải lớn hơn 0), hệ số tắt dần \(k\) (bằng 0 hoặc lớn hơn, trong đó \(k = 0\) cho chuyển động dao động thuần túy không tắt dần), độ dịch chuyển ban đầu \(\text{x}_0\), và số khoảng chia thời gian cho bảng. Chu kỳ riêng là \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\); bảng trải dài \(4 T_0\) với các bước đều \(dt = \frac{\text{khoảngThờiGian}}{\text{sốKhoảngChia}}\), tạo ra \(\text{sốKhoảngChia}+1\) hàng.
Ví dụ minh họa
Với \(\omega_0 = 5\), \(k = 1\), \(\text{x}_0 = 1\) và 50 khoảng chia, hệ thuộc chế độ tắt dần yếu với \(\omega_d = \sqrt{25 - 1} = 4.89898\ \text{rad/s}\). Chu kỳ riêng là \(1.256637\ \text{s}\), khoảng thời gian là \(5.026548\ \text{s}\) và \(dt = 0.100531\ \text{s}\). Tại \(t = 0\), độ dịch chuyển là \(1\); tại bước đầu tiên \(t = 0.100531\ \text{s}\), giá trị này khoảng \(0.884153\).
Câu hỏi thường gặp
Hệ số tắt dần k biểu thị điều gì? Đây là số hạng nửa-tắt-dần đã chuẩn hóa theo khối lượng; lực cản trên một đơn vị khối lượng bằng \(2k\) nhân với vận tốc.
Nếu k bằng đúng w0 thì sao? Tại điểm đó, công thức của chế độ tắt dần yếu và quá tắt dần có một điểm kỳ dị có thể khử được, nên công cụ sẽ dùng công thức tắt dần tới hạn mỗi khi \(k\) nằm trong một sai số rất nhỏ so với \(\omega_0\).
Tại sao lại đúng bốn chu kỳ? Bốn chu kỳ riêng đủ dài để thể hiện toàn bộ đường bao suy giảm của biên độ, đồng thời giữ cho bảng vẫn gọn gàng và dễ đọc.
